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ベクトル空間の巡回部分空間 📂線形代数

ベクトル空間の巡回部分空間

定義1

T:VVT : V \to Vベクトル空間 VV 上の線形変換としよう。v0V\mathbf{v} \ne \mathbf{0} \in Vとする。次の部分空間

W=span({v,Tv,T2v,}) W = \span\left( \left\{ \mathbf{v}, T\mathbf{v}, T^{2}\mathbf{v}, \dots \right\} \right)

v\mathbf{v}で生成される**VVTT-循環部分空間**TT-cyclic subspace of VV generated by v\mathbf{v}という。

説明

TT-循環部分空間は自明にTT-不変部分空間だ。また、v\mathbf{v}を含む最小のTT-不変部分空間である。

定理1

T:VVT : V \to V有限次元ベクトル空間 VV 上の線形変換としよう。WWv0V\mathbf{v} \ne \mathbf{0} \in Vで生成されるTT-循環部分空間としよう。k=dim(W)k = \dim(W)とすると、

  1. {v,Tv,,Tk1v}\left\{ \mathbf{v}, T\mathbf{v}, \dots, T^{k-1}\mathbf{v} \right\}WW基底である。

  2. もしa0v+a1Tv++ak1Tk1v+Tkv=0a_{0}\mathbf{v} + a_{1}T \mathbf{v} + \cdots + a_{k-1}T^{k-1} \mathbf{v} + T^{k}\mathbf{v} = \mathbf{0}ならば、制限TWT|_{W}特性多項式f(t)=(1)k(a0+a1t++ak1tk1+tk) f(t) = (-1)^{k}\left( a_{0} + a_{1}t + \cdots +a_{k-1}t^{k-1} + t^{k} \right)

証明

参照


  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p313 ↩︎ ↩︎