ベクトル空間の巡回部分空間
📂線形代数ベクトル空間の巡回部分空間
定義
T:V→Vをベクトル空間 V 上の線形変換としよう。v=0∈Vとする。次の部分空間
W=span({v,Tv,T2v,…})
をvで生成される**VのT-循環部分空間**T-cyclic subspace of V generated by vという。
説明
T-循環部分空間は自明にT-不変部分空間だ。また、vを含む最小のT-不変部分空間である。
定理
T:V→Vを有限次元ベクトル空間 V 上の線形変換としよう。Wをv=0∈Vで生成されるT-循環部分空間としよう。k=dim(W)とすると、
{v,Tv,…,Tk−1v}はWの基底である。
もしa0v+a1Tv+⋯+ak−1Tk−1v+Tkv=0ならば、制限T∣Wの特性多項式は
f(t)=(−1)k(a0+a1t+⋯+ak−1tk−1+tk)
証明
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参照