logo

微分幾何学におけるクリストッフェル記号 📂幾何学

微分幾何学におけるクリストッフェル記号

ビルドアップ

x:U→R3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}を座標写像とする。微分幾何学では、幾何学的な対象の特徴や性質を微分を通して説明する。したがって、座標切れ目x\mathbf{x}の導関数が色々な定理と公式で登場することになる。例えば、1次の導関数{x1,x2}\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}は接空間TpMT_{p}Mの基底になる。したがって、任意の接線ベクトルX∈TpM\mathbf{X} \in T_{p}Mは次のように表現することができる。

X=X1x1+X2x2 \mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2}

それでは、座標写像の2次の導関数xij=∂2x∂ui∂uj\mathbf{x}_{ij} = \dfrac{\partial^{2} \mathbf{x}}{\partial u_{i} \partial u_{j}}について考えてみよう。これはR3\mathbb{R}^{3}のベクトルなので、R3\mathbb{R}^{3}の基底の線形組み合わせで表現することができる。でも、すでにR3\mathbb{R}^{3}で互いに直交する3つのベクトルを知っているけど、それは1次の導関数と単位法線だ。

{n,x1,x2} \left\{ \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}

すると、xij\mathbf{x}_{ij}は次のように表される。

xij=aijn+bij1x1+bij2x2 \mathbf{x}_{ij} = a_{ij} \mathbf{n} + b^{1}_{ij} \mathbf{x}_{1} + b^{2}_{ij} \mathbf{x}_{2}

これらの係数bij1,bij2b_{ij}^{1}, b_{ij}^{2}をクリストッフェル記号という。さて、これらの係数を具体的に求めてみよう。第1基本形式の性質によって以下が成立する。

⟨xij,xl⟩= bij1⟨x1,xl⟩+bij2⟨x2,xl⟩= ∑k′=12bijk′⟨xk′,xl⟩= ∑k′=12bijk′gk′l  ⟹  ∑l=12⟨xij,xl⟩glk= ∑l=12∑k′=12bijk′gk′lglk= ∑k′=12bijk′δk′k= bijk \begin{align*} && \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle &=\ b_{ij}^{1}\left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle + b_{ij}^{2}\left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ && &=\ \sum\limits_{k^{\prime}=1}^{2}b_{ij}^{k^{\prime}}\left\langle \mathbf{x}_{k^{\prime}}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ && &=\ \sum\limits_{k^{\prime}=1}^{2}b_{ij}^{k^{\prime}} g_{k^{\prime}l} \\ \implies && \sum\limits_{l=1}^{2}\left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} &=\ \sum\limits_{l=1}^{2}\sum\limits_{k^{\prime}=1}^{2}b_{ij}^{k^{\prime}} g_{k^{\prime}l}g^{lk} \\ && &=\ \sum\limits_{k^{\prime}=1}^{2}b_{ij}^{k^{\prime}} \delta_{k^{\prime}}^{k} \\ && &=\ b_{ij}^{k} \end{align*}

さて、これらのbijkb_{ij}^{k}をΓijk\Gamma_{ij}^{k}と表記して、次のように定義しよう。

定義

以下のように定義されるΓijk(1≤i,j,k≤2)\Gamma_{ij}^{k}(1\le i,j,k \le 2)をクリストッフェル記号という。

Γijk:=∑l=12⟨xij,xl⟩glk=⟨xij,xl⟩glk \Gamma_{ij}^{k} := \sum \limits_{l=1}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk}

∑\sumの省略された式はアインシュタインの記法を使用している。

説明

x12=x21\mathbf{x}_{12} = \mathbf{x}_{21}であるから、Γ12k=Γ21k\Gamma_{12}^{k} = \Gamma_{21}^{k}である。

xij\mathbf{x}_{ij}の接成分bijkb_{ij}^{k}をΓijk\Gamma_{ij}^{k}と表記し、クリストッフェル記号と呼び、xij\mathbf{x}_{ij}の法成分aija_{ij}をLijL_{ij}と表記し、第2基本形式の係数と呼ぶ。

ここで紹介したクリストッフェル記号は具体的には第2クリストッフェル記号である。第1クリストッフェル記号は以下のように定義される。

Γij∣l:=∑k=12Γijkgkl \Gamma_{ij \vert l} := \sum \limits_{k=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k}g_{kl}

通常、クリストッフェル記号と言えば第2記号を指す。これらの記号を初めて使ったのはG.B.クリストッフェルで、当時は第2記号を{ijk}\begin{Bmatrix} ij \\ k \end{Bmatrix}としていたという。

参照