📂幾何学

ガウス曲率と測地曲率

ビルドアップ¹

$$\left\{ T(s), N(s), B(s), \kappa (s), \tau (s) \right\}$$

曲線を分析するとき、フレネ・セレ装置を使ったのを思い出してほしい。曲面について学ぶときも、同様のものを考えることになる。$\boldsymbol{\alpha}$が単位速度曲線のとき、曲線の曲率は加速度の大きさ$\kappa = \left| T^{\prime} \right| = \left| \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime} \right|$で定義されたんだ。曲面がどれくらい曲がっているかを知るためには、曲面上の曲線がどれくらい曲がっているかを見ることは自然な考え方だ。

$\mathbf{x} : U\subset \R^{2} \to M$として与えられた曲面を考えてみよう。$\boldsymbol{\alpha}(s)$を単純曲面$\mathbf{x}$上の単位速度曲線としよう。それでは$\boldsymbol{\alpha}$のためのフレネ・セレ装置を次のように表記しよう。

$$\left\{ \mathbf{T}, \mathbf{N}, \mathbf{B}, \kappa, \tau \right\}$$

点$p \in M$での単位法線を$\mathbf{n}$としよう。点$p$で$M$に^垂直なすべてのベクトルの集合を$N_{p}M$としよう。

$$N_{p}M := \left\{ r \mathbf{n} : r \in \R \right\} = \left\{ \text{all vectors perpendicular to } M \text{ at } p \right\}$$

そのため、接平面の定義により、$T_{p}M$は$N_{p}M$の直交補空間だ。

$$N_{p}M ^{\perp} = T_{p}M$$

したがって、$\R^{3}$は次のように直交分解され、$\boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}$は2つの空間のベクトルの線形結合で表すことができる。

$$\R^{3} = N_{p}M \oplus T_{p}M \quad \text{and} \quad \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}(s) = n_{1}\mathbf{n}(s) + n_{2}\mathbf{n}^{\perp}(s)\quad (\mathbf{n}\in N_{p}M,\ \mathbf{n}^{\perp}\in T_{p}M)$$

$\mathbf{T} = \boldsymbol{\alpha}^{\prime}$を接ベクトルとしよう。$\boldsymbol{\alpha}$は単位速度ベクトルなので、次の式が成り立つ。

$$\left| \boldsymbol{\alpha}^{\prime}(s) \right|^{2} = \left| \mathbf{T}(s) \right|^{2} = \left\langle \mathbf{T}, \mathbf{T} \right\rangle = 1$$

両辺を微分すると、内積の微分法により次を得る。

$$\begin{align*} && \left\langle \mathbf{T}, \mathbf{T} \right\rangle^{\prime} =&\ 0 \\ \implies && \left\langle \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{T} \right\rangle =&\ 0 \\ \implies && \left\langle \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}, \mathbf{T} \right\rangle =&\ 0 \end{align*}$$

したがって、$\boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}$は$\mathbf{T}$と垂直だ。$\boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}$を分けて書いてみると、$\mathbf{n}$と$\mathbf{T}$は互いに垂直なので、次を得る。

$$\begin{align*} && \left\langle \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}, \mathbf{T} \right\rangle =&\ 0 \\ \implies && \left\langle n_{1}\mathbf{n} + n_{2}\mathbf{n}^{\perp}, \mathbf{T} \right\rangle =&\ 0 \\ \implies && \left\langle n_{1}\mathbf{n}, \mathbf{T} \right\rangle + \left\langle n_{2}\mathbf{n}^{\perp}, \mathbf{T} \right\rangle =&\ 0 \\ \implies && \left\langle n_{2}\mathbf{n}^{\perp}, \mathbf{T} \right\rangle =&\ 0 \end{align*}$$

したがって、$\mathbf{n}^{\perp}$は$\mathbf{n}$と$\mathbf{T}$の両方と垂直なベクトルであることがわかる。そこで、ベクトル$\mathbf{S}$を次のように定義しよう。

$$\mathbf{S} := \mathbf{n}\times \mathbf{T} \quad \text{and} \quad \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime} = n_{1}\mathbf{n} + s\mathbf{S}$$

$\mathbf{S}$を$\boldsymbol{\alpha}$の内在的法線と呼ぶ。

定義

$\mathbf{n}$の成分$n_{1}$を単位速度曲線$\boldsymbol{\alpha}$の法曲率と呼び、$\kappa_{n}$と表記する。

$$\kappa_{n} := \left\langle \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}, \mathbf{n} \right\rangle$$

$\mathbf{S}$の成分$s$を単位速度曲線$\boldsymbol{\alpha}$の測地曲率と呼び、$\kappa_{g}$と表記する。

$$\kappa_{g} := \left\langle \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}, \mathbf{S} \right\rangle$$

したがって、次の式が成り立つ。

$$\kappa (s) \mathbf{N}(s) = \mathbf{T}^{\prime}(s) = \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}(s) = \kappa_{n}(s)\mathbf{n}(s) + \kappa_{g}(s)\mathbf{S}(s)$$

説明

法曲率$\kappa_{n}$は曲面$M$が$\R^{3}$でどれくらい曲がっているかを測るのに使われる。測地曲率$\kappa_{g}$は曲線$\boldsymbol{\alpha}$が曲面$M$でどれくらい曲がっているかを測るのに使われる。例えば、測地曲率$\kappa_{g}$が$0$である曲線は、曲面上の直線、つまり測地線を意味することになる。

$\mathbf{n}, \mathbf{S}$が単位ベクトルであるので、上の定義により次の式が成り立つ。

$$\kappa^{2} = \kappa_{n}^{2} + \kappa_{g}^{2}$$