ゾンマーフェルト放射条件

定義¹

$u$を時間-調和波動としよう。以下の式をゾンマーフェルトの放射条件^{Sommerfeld radiation condition}と呼ぶ。

$$\lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{\partial u}{\partial r} - ik u \right) = 0$$

説明

ゾンマーフェルトの放射条件は、ヘルムホルツ方程式の解が物理的に可能な解であるために満たすべき条件である。ドイツの物理学者ゾンマーフェルトが1912年に発表した論文Die greensche Funktion der Schwingungsgleichung（振動方程式のグリーン関数）を通じて提案された。つまり、ヘルムホルツ方程式の解がゾンマーフェルトの放射条件を満たさない場合、物理的に意味がないと言える。

この条件は、波が波源から遠ざかるべきであることを意味している。すなわち、波は前に進むだけでなく、戻ってはならない。湖に石を投げ入れる状況を考えてみよう。そのとき、石が水に入ったその地点から波が広がるだろう。現実で波が急にUターンして中心方向に逆行することは絶対に起こらないことを我々は知っている。

ゾンマーフェルトの放射条件は、上述した状況を満足するように解への制約を加えるものである。ある$u(x)$が数学的にはヘルムホルツ方程式の解になりえるが、それが逆方向に動く波を描写する関数であれば、物理的な意味を持たない。簡単な状況に対して、上の条件を実際に適用してみよう。

例

$u(r)$を[球面波]とするならば、次の二つの解がヘルムホルツ方程式$\Delta u + k^{2}u=0$の解となる。

$$\begin{equation} u(r) = \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \end{equation}$$

代入して簡単に確認できる。球面座標系ではラプラシアンは次のようになる。

$$\nabla ^{2} u = \Delta u = \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^{2}\frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} \phi}$$

$u$を球面波としたので、角度には関係なく、ラプラシアンは半径に関する項だけが残る。

$$\nabla ^{2} u = \Delta u = \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{d r} \left( r^{2}\frac{d u}{d r} \right) = \dfrac{2}{r}\dfrac{du}{dr} + \dfrac{d^{2}u}{dr^{2}}$$

これでヘルムホルツ方程式に$(1)$を代入してみると、解であることがわかる。

$$\begin{align*} & \Delta u + k^{2}u \\ =&\ \dfrac{2}{r}\dfrac{du}{dr} + \dfrac{d^{2}u}{dr^{2}} + k^{2}u \\ =&\ \dfrac{2}{r}\dfrac{d}{dr}\left( \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \right) + \dfrac{d^{2}}{dr^{2}}\left( \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \right) + k^{2}\left( \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \right) \\ =&\ \left( \pm 2ik\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} -2\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}} \right) + \dfrac{d}{dr}\left( \pm ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} - \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} \right) + k^{2}\dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \\ =&\ \left( \pm 2ik\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} -2\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}} \right) + \left( - k^{2} \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \mp ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} \mp ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} +2 \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}} \right) + k^{2}\dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \\ =&\ \left( {\color{red}\cancel{\color{black}\pm 2ik\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}}}} {\color{blue}\bcancel{\color{black}-2\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}}}} \right) + \left( {\color{green}\cancel{\color{black}- k^{2} \dfrac{e^{\pm ikr}}{r}}} {\color{red}\cancel{\color{black}\mp ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}}}} {\color{red}\cancel{\color{black}\mp ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}}}} +{\color{blue}\bcancel{\color{black}2 \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}}}} \right) {\color{green}\cancel{\color{black}+ k^{2}\dfrac{e^{\pm ikr}}{r} }} \\ =&\ 0 \end{align*}$$

複素波動関数では、$u_{+}(r)=\dfrac{e^{ikr}}{r}$は$r$が増加する方向に進む波を、$u_{-}(r)=\dfrac{e^{-ikr}}{r}$は$r$が減少する方向に進む波を表す。つまり、$u_{+}$はまっすぐ進む波を、$u_{-}$は逆向きに進む波を意味する。この時$u_{+}$だけが放射条件を満たすなら、放射条件が物理的な解の性質をうまく説明していると言える。確認してみると以下の通り。

$$\begin{align*} \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{du_{+}}{dr} - ik u_{+} \right) =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{d}{dr}\dfrac{e^{ikr}}{r} - ik \dfrac{e^{ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( ik\dfrac{e^{ikr}}{r} - \dfrac{e^{ikr}}{r^{2}} - ik \dfrac{e^{ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( - \dfrac{e^{ikr}}{r^{2}} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} - \dfrac{e^{ikr}}{r} \\ =&\ - \lim \limits_{r \to \infty} \dfrac{\cos kr + i \sin kr}{r} \\ =&\ 0 \end{align*}$$

よって、$u_{+}$は放射条件を満たす。

$$\begin{align*} \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{du_{-}}{dr} - ik u_{-} \right) =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{d}{dr}\dfrac{e^{-ikr}}{r} - ik \dfrac{e^{-ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( -ik\dfrac{e^{-ikr}}{r} - \dfrac{e^{-ikr}}{r^{2}} - ik \dfrac{e^{-ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} \left( -2ike^{-ikr} - \dfrac{e^{-ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} \left( -2ike^{-ikr} \right) - \lim \limits_{r \to \infty} \left( \dfrac{e^{-ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} \left( -2ike^{-ikr} \right) \\ =&\ -2ik\lim \limits_{r \to \infty} \left( \cos kr -i \sin kr \right) \end{align*}$$

この式は発散するので、$u_{-}$は放射条件を満たさない。