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エルミート行列の固有値は常に実数である 📂行列代数

エルミート行列の固有値は常に実数である

定理

AAをn×nn \times nのサイズを持つエルミート行列としよう。そうすると、AAの固有値は全て実数である。

説明

一般の行列において、固有値が実数である保証はなく、エルミート行列については、証明を通して実数であることが確認できる。

直感的には思いつきにくいが、証明自体は比較的簡単な方であり、事実としても非常に有用である。正定値性などの概念と組み合わせることにより、様々な良い結果を生むので、是非知っておくべきだ。

証明

AAの固有値をλ\lambda、それに対応する固有ベクトルをx\mathbf{x}とする。すると、固有値方程式は以下のようになる。

Ax=λx A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}

両辺の左側にx∗\mathbf{x}^{\ast}を乗じると、以下のようになる。

x∗Ax=λx∗x \begin{equation} \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} \end{equation}

両辺に共役転置∗^{ \ast }を取ると、共役転置の性質により、以下のようになる。

(x∗Ax)∗=(λx∗x)∗  ⟹  x∗A∗x=λ‾x∗x \begin{align*} \left( \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \right) ^{\ast} = & \left( \lambda \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} \right) ^{\ast} \\ \implies \mathbf{x}^{\ast} A^{ \ast } \mathbf{x} = & \overline{\lambda} \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} \end{align*}

AAはエルミート行列なので、A=A∗A=A^{\ast}が成り立ち、上の式は以下のようになる。

x∗Ax=λ‾x∗x \begin{equation} \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \overline{\lambda} \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} \end{equation}

(1)(1)と(2)(2)により、次の式が成立する。

λx∗x=x∗Ax=x∗A∗x=λ‾x∗x \lambda \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} = \mathbf{x}^{ \ast } A \mathbf{x} = \mathbf{x}^{ \ast } A^{ \ast } \mathbf{x} = \overline{\lambda} \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x}

したがって、 (λ−λ‾)x∗x=0 ( \lambda - \overline{\lambda} ) \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} = 0

しかし、x\mathbf{x}は固有ベクトルなので、0\mathbf{0}ではない。したがって、x∗x≠0\mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} \ne \mathbf{0}である。よって、

λ=λ‾ \lambda = \overline{\lambda}

これはλ\lambdaが実数であることを意味する。

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参考