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指数関数と対数関数の極限

公式

指数関数と対数関数に関して、以下の式が成り立つ。

$$\begin{equation} \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\log (x + 1) }{x} = 1 \end{equation}$$

$$\begin{equation} \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{ e^{x} - 1}{x} = 1 \end{equation}$$

証明

$(1)$

$$\begin{align*} \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\log (x + 1) }{x} &= \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x} \log ( x + 1) \\ &= \lim \limits_{x \to 0} \log (x + 1)^{\frac{1}{x}} \\ &= \log\left( \lim \limits_{x \to 0} (x + 1)^{\frac{1}{x}}\right) \\ &= \log\left( e \right) \\ &= \log\left( e \right) \end{align*}$$

3つ目の等号は、対数関数が連続であるため成り立つ。最後の等号は、$e$の定義による。

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$(2)$

$e^{x}-1 = t$と置換すると、$x = \log(t+1)$になるため

$$\begin{align*} \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{ e^{x} - 1}{x} &= \lim \limits_{t \to 0} \dfrac{ t }{ \log (t+1)} \\ &= \lim \limits_{t \to 0} \dfrac{ 1 }{ \frac{1}{t}\log (t+1)} \\ &= \dfrac{\lim \limits_{t \to 0} 1 }{\lim \limits_{t \to 0} \frac{1}{t}\log (t+1)} \\ &= \dfrac{1}{1} = 1 \end{align*}$$

3つ目の等号は、$\lim \dfrac{f}{g} = \dfrac{\lim f}{\lim g}$によって成り立つ。4つ目の等号は、$(1)$によって成り立つ。

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