📂バナッハ空間

有限次元ベクトル空間上で定義された全てのノルムは同値であることの証明

定理¹

有限次元ベクトル空間上で定義された全てのノルムは同値である。

説明

ユークリッド空間上で定義された全てのノルムは同値であるという事実は、本定理の系に当たる。

証明

戦略：$c \| v \| _{\alpha} \le \| v \| _{\beta} \le C \| v \| _{\alpha}$を満たす$c , C >0$が存在することを示せば、二つのノルム$\left\| \cdot \right\|_{\alpha}$と$\left\| \cdot \right\|_{\beta}$は同値である。最大最小値の定理を通じて$\displaystyle { { \| v \| _{\beta} } \over {\| v \| _{\alpha} } }$の最大値と最小値が存在することを一度に示す。

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有限次元ベクトル空間$X$でノルムが定義されているなら、基底$\left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$が存在する。したがって、$X$の全てのベクトルは$(\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} ) = \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n}$のように表せる。$X$で定義された三つのノルム$\left\| \cdot \right\|_{1}$、$\left\| \cdot \right\|_{2}$、そして$\left\| \cdot \right\|$を考えてみよう。特に$\left\| \cdot \right\|$は

$$ \| \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \| : = \sum_{k=1}^{n} | \lambda_{k} | $$

のように、線形結合の係数の絶対値を全て足し合わせたノルムとして定義する。今、$\left\| \cdot \right\|_{1} \sim \left\| \cdot \right\|$と$\left\| \cdot \right\| \sim \left\| \cdot \right\|_{2}$を示せば、同値関係の推移性により、任意の二つのノルムは$\left\| \cdot \right\|_{1} \sim \left\| \cdot \right\|_{2}$を満たす。

• Part 1.

  関数$f : ( \mathbb{C}^{n} , \left\| \cdot \right\| ) \to \mathbb{R}$を$f( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} ) = \| \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \|_{1}$と定義しよう。そして、それぞれが$\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n}$に収束する数列$\left\{ \lambda_{1}^{(j)} \right\}_{j \in \mathbb{N} } , \cdots , \left\{ \lambda_{n}^{(j)} \right\}_{j \in \mathbb{N} }$を定義しよう。

  $$ \begin{align*} & \left| f( \lambda_{1}^{(j)} , \cdots , \lambda_{n}^{(j)} ) - f( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} ) \right| \\ =& \left| \| \lambda_{1}^{(j)} e_{1} + \cdots + \lambda_{n}^{(j)} e_{n} \|_{1} - \| \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \|_{1} \right| \\ \le & \left\| \left( \lambda_{1}^{(j)} e_{1} + \cdots + \lambda_{n}^{(j)} e_{n} \right) - \left( \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \right) \right\|_{1} \\ \le & \sum_{k=1}^{n} \left\| \left( \lambda_{k}^{(j)} e_{k} - \lambda_{k} e_{k} \right) \right\|_{1} \\ \le & \sum_{k=1}^{n} \left| \lambda_{k}^{(j)}- \lambda_{k} \right| \max_{1 \le k \le n} \left\| e_{k} \right\|_{1} \end{align*} $$

  すなわち、$j \to \infty$のとき$\left| f( \lambda_{1}^{(j)} , \cdots , \lambda_{n}^{(j)} ) - f( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} ) \right| \to 0$なので、$f$は連続関数である。

• Part 2.

  $X$で係数の絶対値の和が$1$であるベクトルだけを集めた集合

  $$ S := \left\{ \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \ : \ \sum_{k=1}^{n} | \lambda_{k}|=1, \lambda_{k} \in \mathbb{C} \right\} $$

  はコンパクトであり、$f$は連続なので、最大最小値の定理により

  $$ f(S) = \left\{ \| \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \|_{1} \ : \ \sum_{k=1}^{n} | \lambda_{k}|=1, \lambda_{k} \in \mathbb{C} \right\} $$

  は最小値$m$と最大値$M$を持つ。したがって

  $$ m \le \| \lambda_{1} e_{1} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} \|_{1} \le M $$

• Part 3.

  $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} | \alpha_{k}| \ne 1$である$( \alpha_{1} e_{1} + \cdots + \alpha_{n} e_{n} ) \in X$に対して

  $$ m \le \left\| {{\alpha_{1} } \over { \sum_{k=1}^{n} | \alpha_{k}|}} e_{1} + \cdots + {{\alpha_{n}} \over { \sum_{k=1}^{n} | \alpha_{k}|}} e_{n} \right\|_{1} \le M $$

  ノルムの性質により

  $$ m \le {{1} \over {\sum_{k=1}^{n} | \alpha_{k}|}} \| \alpha_{1} e_{1} + \cdots + \alpha_{n} e_{n} \|_{1} \le M $$

  $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} | \alpha_{k} | = \| \alpha_{1} e_{1} + \cdots + \alpha_{n} e_{n} \|$なので

  $$ m \| \alpha_{1} e_{1} + \cdots + \alpha_{n} e_{n} \| \le \| \alpha_{1} e_{1} + \cdots + \alpha_{n} e_{n} \|_{1} \le M \| \alpha_{1} e_{1} + \cdots + \alpha_{n} e_{n} \| $$

  したがって、ノルムの同値関係が定義されたところに従い

  $$ \left\| \cdot \right\| \sim \left\| \cdot \right\|_{1} $$

• Part 4.

  同様の方法で$\left\| \cdot \right\| \sim \left\| \cdot \right\|_{2}$であることを示せば、同値関係の推移性に従い

  $$ \left\| \cdot \right\|_{1} \sim \left\| \cdot \right\|_{2} $$

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