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複素関数のWirtinger微分

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複素関数$f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$が与えられたとしよう。複素数$z=x+iy$は、２つの実数$x,y \in \mathbb{R}$の線型結合であるため、関数$f$を２つの実数の変数を持つ関数として考えることができる。さらに、２つの実関数$u,v : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$を使って、$f$の関数値を以下のように実部、虚部に分けて表現することができる。

$$f(z) = f(x,y) = u(x,y) + i v(x,y)$$

すると、$f$の全微分は以下のようになる。

$$\begin{equation} \begin{aligned} df &= du + i dv \\ &= \left( \dfrac{\partial u}{\partial x}dx + \dfrac{\partial u}{\partial y}dy \right) + i \left( \dfrac{\partial v}{\partial x}dx + \dfrac{\partial v}{\partial y}dy \right) \\ &= \left( \dfrac{\partial u}{\partial x} + i\dfrac{\partial v}{\partial x} \right)dx + \left( \dfrac{\partial u}{\partial y} + i\dfrac{\partial v}{\partial y} \right)dy \end{aligned} \end{equation}$$

$dz$、$d\bar{z}$から$dx, dy$を求めると、次のように整理できる。

$$\begin{cases} dz = dx + idy \\ d\bar{z} = dx -idy \end{cases} \implies \begin{cases} dx = \dfrac{dz + d\bar{z}}{2} \\ dy = \dfrac{dz - d\bar{z}}{2i} \end{cases}$$

これを$(1)$に代入して、次のように整理することができる。

$$\begin{align*} df &= \left( \dfrac{\partial u}{\partial x} + i\dfrac{\partial v}{\partial x} \right)dx + \left( \dfrac{\partial u}{\partial y} + i\dfrac{\partial v}{\partial y} \right)dy \\ &= \left( \dfrac{\partial u}{\partial x} + i\dfrac{\partial v}{\partial x} \right)\left( \dfrac{dz + d\bar{z}}{2} \right) + \left( \dfrac{\partial u}{\partial y} + i\dfrac{\partial v}{\partial y} \right)\left( \dfrac{dz - d\bar{z}}{2i} \right) \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ \left( \dfrac{\partial u}{\partial x} + i \dfrac{\partial v}{\partial x} \right) -i \left( \dfrac{\partial u}{\partial y} + i\dfrac{\partial v}{\partial y} \right)\right]dz \\ &\quad+ \dfrac{1}{2} \left[ \left( \dfrac{\partial u}{\partial x} + i \dfrac{\partial v}{\partial x} \right) + i \left( \dfrac{\partial u}{\partial y} + i\dfrac{\partial v}{\partial y} \right)\right]d\bar{z} \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{\partial (u+iv)}{\partial x} - i \dfrac{\partial (u+iv)}{\partial y}\right]dz + \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{\partial (u+iv)}{\partial x} + i \dfrac{\partial (u+iv)}{\partial y}\right]d\bar{z} \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{\partial f}{\partial x} - i \dfrac{\partial f}{\partial y}\right]dz + \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{\partial f}{\partial x} + i \dfrac{\partial f}{\partial y}\right]d\bar{z} \\ &= \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{\partial }{\partial x} - i \dfrac{\partial }{\partial y}\right]fdz + \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{\partial }{\partial x} + i \dfrac{\partial }{\partial y}\right]fd\bar{z} \end{align*}$$

この時、最初の項の定数と括弧を$\dfrac{\partial }{\partial z}$と表記し、2番目の項の括弧を$\dfrac{\partial }{\partial \bar{z}}$と表記すると、以下のように複素関数$f$の全微分を自然に表現できる。

$$df = \dfrac{\partial f}{\partial z}dz + \dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}}d\bar{z}$$

定義

$x,y \in \mathbb{R}$、$z=x+iy$としよう。複素関数$f :\mathbb{C} \to \mathbb{C}$が実関数$u,y : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$に対して$f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$のように表されるとする。微分演算子$\dfrac{\partial }{\partial z}$、$\dfrac{\partial }{\partial \bar{z}}$を次のように定義する。

$$\begin{align*} \dfrac{\partial }{\partial z} & := \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} - i \dfrac{\partial }{\partial y}\right) \\ \dfrac{\partial }{\partial \bar{z}} & := \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} + i \dfrac{\partial }{\partial y}\right) \end{align*}$$

これを**(共役) Wirtinger 微分演算子**^{(conjugate) Wirtinger differential operator}と呼び、$\dfrac{\partial f}{\partial z}, \dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}}$を**(共役) Wirtinger 導関数**^{(conjugate) Wirtinger derivative}という。

説明

Wirtinger 微分演算子を$z$、$\bar{z}$に適用すると、次のようになる。

$$\dfrac{\partial z}{\partial z} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} - i \dfrac{\partial }{\partial y}\right)(x+iy) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial y}{\partial y}\right) = 1$$

$$\dfrac{\partial \bar{z}}{\partial \bar{z}} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} + i \dfrac{\partial }{\partial y}\right)(x-iy) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial y}{\partial y}\right) = 1$$

$$\dfrac{\partial z}{\partial \bar{z}} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} + i \dfrac{\partial }{\partial y}\right)(x+iy) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial x}{\partial x} - \dfrac{\partial y}{\partial y}\right) = 0$$

$$\dfrac{\partial \bar{z}}{\partial z} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} - i \dfrac{\partial }{\partial y}\right)(x-iy) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial x}{\partial x} - \dfrac{\partial y}{\partial y}\right) = 0$$

これらの結果から、Wirtinger 微分演算子は、まるで$z$と$\bar{z}$が互いに独立した変数であるかのように扱うことができると解釈できる。実際に、$f$は全ての$z$に対して微分不可能であるため、$\dfrac{df}{dz}$は存在しない。しかし、Wirtinger 演算子は定義により、$\bar{z}$が含まれる関数も微分することができ、その結果も微分と呼ぶには自然だとわかる。複素幾何学では、Wirtinger 微分を基本として扱うと言われている正則関数について調べると、その意味が従来の微分の意味と完全に同じだからだ。

正則関数について

$f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$が正則関数だとしよう。すると、Wirtinger 導関数は次のようになる。

$$\begin{align*} \dfrac{\partial f}{\partial z} &= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} -i \dfrac{\partial }{\partial y}\right) (u + iv) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( u_{x} + v_{y} + i(-u_{y} + v_{x}) \right) \end{align*}$$

微分可能な複素関数はコーシー・リーマン方程式を満たすため、上記の式は次のようになる。

$$\dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{1}{2} \left( u_{x} + u_{x} + i(v_{x} + v_{x}) \right) = u_{x} + i v_{x}$$

しかし、複素関数の導関数は$f^{\prime} = \dfrac{df}{dz} = u_{x} + iv_{x}$であるため、以下の式が成り立つ。

$$\dfrac{\partial f}{\partial z} = u_{x} + i v_{x} = \dfrac{df}{dz}$$

したがって、微分可能な関数$f$に対しては、$\dfrac{\partial }{\partial z}$が$\dfrac{d}{dz}$と完全に同じ意味を持つようになる。さて、方程式$\dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$を解いてみよう。

$$\begin{align*} \dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}} &= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial }{\partial x} +i \dfrac{\partial }{\partial y}\right) (u + iv) \\ &= \dfrac{1}{2} \left( u_{x} - v_{y} + i(u_{y} + v_{x}) \right) \\ &= 0 \end{align*}$$

実部と虚部が共に$0$である必要があるため、以下の式が得られる。

$$\implies \begin{cases} u_{x} = v_{y} \\ u_{y} = - v_{x} \end{cases}$$

これはコーシー・リーマン方程式と同じである。したがって、$\dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$という式自体が$f$がコーシー・リーマン方程式を満たしているということと同じである。つまり、以下の命題はすべて同値である。

• $f$が正則(解析的)である。
• $\dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} = 0$
• $f$が$\overline{z}$に依存しない。

非正則関数について

例えば、絶対値$f(z) = \left| z \right|$を含む関数、$\overline{z}$が含まれている関数を考えてみよう。これらの関数を最適化するために変化率を知りたいとしよう。しかし、$f$は微分不可能であるため、$\dfrac{df}{dz}$を計算することができず、どのように$f$を最適化すべきかがわからない。この場合、Wirtinger 微分を使用すると、傾きと呼ぶことができるものを計算することができる。

$$\dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\partial z\overline{z}}{\partial z} = \overline{z}$$

実際、通信などの工学分野でこのようなテクニックを使用している。

性質

微分と呼ばれるために当然持っているべき性質もよく持っていることが確認できる。

• 線形性：

  $$\dfrac{\partial (af + g)}{\partial z} = a\dfrac{\partial f}{\partial z} + \dfrac{\partial g}{\partial z}$$

  $$\dfrac{\partial (af + g)}{\partial \overline{z}} = a\dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} + \dfrac{\partial g}{\partial \overline{z}}$$

• 積の微分：

  $$\dfrac{\partial (fg)}{\partial z} = \dfrac{\partial f}{\partial z}g + f\dfrac{\partial g}{\partial z}$$

  $$\dfrac{\partial (fg)}{\partial \overline{z}} = \dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}}g + f\dfrac{\partial g}{\partial \overline{z}}$$

• 連鎖律

  $$\dfrac{\partial (f \circ g)}{\partial z} = \dfrac{\partial f}{\partial w} \dfrac{\partial g}{\partial z} + \dfrac{\partial f}{\partial \overline{w}} \dfrac{\partial \overline{g}}{\partial z}$$

  $$\dfrac{\partial (f \circ g)}{\partial \overline{z}} = \dfrac{\partial f}{\partial w} \dfrac{\partial g}{\partial \overline{z}} + \dfrac{\partial f}{\partial \overline{w}} \dfrac{\partial \overline{g}}{\partial \overline{z}}$$

さらに、

$$\dfrac{\partial ^{2} f}{\partial z \partial \overline{z}} = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial ^{2} f}{\partial y^{2}}\right) = \dfrac{1}{4}\Delta f$$

$$\dfrac{d (f \circ \phi)}{d t} = \dfrac{\partial f}{\partial z} \dfrac{\partial \phi}{\partial t} + \dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} \dfrac{\partial \overline{\phi}}{\partial t}$$

この時点で、$\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$である。