角運動量演算子の交換関係
公式
$$ \left[L_{j}, L_{k} \right] = \i \hbar \epsilon_{jk\ell}L_{\ell} \tag{1} $$
このとき、$\epsilon_{jk\ell}$はレビ-チビタ記号だ。詳しく書き下すと、
$$ \left[ L_{x}, L_{y} \right] = \i \hbar L_{z} \\ \left[ L_{y}, L_{z} \right] = \i \hbar L_{x} \\ \left[ L_{z}, L_{x} \right] = \i \hbar L_{y} $$
さらに、$L^{2} = L_{x}^{2} + L_{y}^{2} + L_{z}^{2}$は各成分と交換可能だ。
$$ [L^{2}, L_{x}] = [L^{2}, L_{y}] = [L^{2}, L_{z}] = 0 \tag{2} $$
説明
$x$と$p_{x}$はそれぞれ位置演算子と運動量演算子だ。
証明
$(1)$
下付き文字が循環するので、$\left[ L_{x},\ L_{y} \right]$に対してだけ計算すれば良い。
$$ \left[ A + B, C \right] = \left[ A, C \right] + \left[ B, C \right] $$
交換子の性質により次を得る。
$$ \begin{align*} [L_{x},L_{y}] &= [yp_{z}-zp_{y},zp_{x}-xp_{z}] \\ &= [yp_{z},zp_{x}-xp_{z}]- [zp_{y},zp_{x}-xp_{z}] \\ &= [yp_{z},zp_{x}] - [yp_{z},xp_{z}] - [zp_{y},zp_{x}] + [zp_{y},xp_{z}] \tag{1} \end{align*} $$
このとき、異なる座標に対して位置演算子と運動量演算子は交換可能だ。
$$ [x, p_{y}] = [x, p_{z}] = [y, p_{x}] = [y, p_{z}] = [z, p_{x}] = [z, p_{y}] = 0 $$
また、同じ演算子間の交換子も$0$だ。したがって$(1)$を展開したとき、$[x,p_{x}],\ [y,p_{y}],\ [z,p_{z}]$のこの3つだけが$0$ではない値を持つことになる。だから$0$ではない項だけに注目すれば良い。最初の項を展開すると、$y[p_{z},z]p_{x}$を除いたすべての項が$0$だ。第二項を展開すると、すべての項が$0$だ。第三項を展開すると、すべての項が$0$だ。第四項を展開すると、$x[z,p_{z}]p_{y}$を除いたすべての項が$0$だ。（理解できないなら、自分で展開して解いてみてくれ。）したがって次を得る。
$$ [L_{x},L_{y}] = y[p_{z},z]p_{+}x[z,p_{z}]p_{y} $$
ここで位置-運動量交換子$[x, p_{x}] = \i\hbar$を使うと、次のように計算される。
$$ \begin{align*} [L_{x},L_{y}] &= y[p_{z},z]p_{x} - x[z,p_{z}]p_{y} \\ &= -\i\hbar (yp_{x}) + \i\hbar (xp_{y}) \\ &= \i \hbar (xp_{y} - yp_{x}) \\ &= \i \hbar L_{z} \end{align*} $$
同じ論理から次を得る。
$$ [L_{y},L_{z}] = \i \hbar L_{x}, \qquad [L_{z}, L_{x}] = \i \hbar L_{y} $$
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$(2)$
交換子の性質と$(1)$を使うと、$[L_{z}, L_{z}] = 0$なので、次を得る。
$$ \begin{align*} [L^2, L_{z}] &= [{L_{x}}^2 + {L_{y}}^2 + {L_{z}}^2, L_{z}] \\ &= [{L_{x}}^2,L_{z}] + [{L_{y}}^2, L_{z}] +[{L_{z}^2}, L_{z}] \\ &= L_{x}[L_{x}, L_{z}] + [L_{x}, L_{z}]L_{x} + L_{y}[L_{y}, L_{z}] + [L_{y}, L_{z}]L_{y} \\ &= (-\i\hbar L_{x}L_{y}) + (-\i\hbar L_{y}L_{x}) + \i\hbar L_{y}L_{z} + \i\hbar L_{x}L_{y} \\ &= 0 \end{align*} $$
同様に、次の式が成り立つ。
$$ [L^2, L_{x}] = [L^2, L_{y}] = 0 $$
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