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角運動量演算子の交換関係 📂量子力学

角運動量演算子の交換関係

公式

各運動量演算子交換関係は次の通り。

[Lj,Lk]=iϵjkL(1) \left[L_{j}, L_{k} \right] = \i \hbar \epsilon_{jk\ell}L_{\ell} \tag{1}

このとき、ϵjk\epsilon_{jk\ell}レビ-チビタ記号だ。詳しく書き下すと、

[Lx,Ly]=iLz[Ly,Lz]=iLx[Lz,Lx]=iLy \left[ L_{x}, L_{y} \right] = \i \hbar L_{z} \\ \left[ L_{y}, L_{z} \right] = \i \hbar L_{x} \\ \left[ L_{z}, L_{x} \right] = \i \hbar L_{y}

さらに、L2=Lx2+Ly2+Lz2L^{2} = L_{x}^{2} + L_{y}^{2} + L_{z}^{2}は各成分と交換可能だ。

[L2,Lx]=[L2,Ly]=[L2,Lz]=0(2) [L^{2}, L_{x}] = [L^{2}, L_{y}] = [L^{2}, L_{z}] = 0 \tag{2}

説明

xxpxp_{x}はそれぞれ位置演算子と運動量演算子だ。

証明

(1)(1)

下付き文字が循環するので、[Lx, Ly]\left[ L_{x},\ L_{y} \right]に対してだけ計算すれば良い。

交換子の性質

[A+B,C]=[A,C]+[B,C] \left[ A + B, C \right] = \left[ A, C \right] + \left[ B, C \right]

交換子の性質により次を得る。

[Lx,Ly]=[ypzzpy,zpxxpz]=[ypz,zpxxpz][zpy,zpxxpz]=[ypz,zpx][ypz,xpz][zpy,zpx]+[zpy,xpz] \begin{align*} [L_{x},L_{y}] &= [yp_{z}-zp_{y},zp_{x}-xp_{z}] \\ &= [yp_{z},zp_{x}-xp_{z}]- [zp_{y},zp_{x}-xp_{z}] \\ &= [yp_{z},zp_{x}] - [yp_{z},xp_{z}] - [zp_{y},zp_{x}] + [zp_{y},xp_{z}] \tag{1} \end{align*}

このとき、異なる座標に対して位置演算子と運動量演算子は交換可能だ。

[x,py]=[x,pz]=[y,px]=[y,pz]=[z,px]=[z,py]=0 [x, p_{y}] = [x, p_{z}] = [y, p_{x}] = [y, p_{z}] = [z, p_{x}] = [z, p_{y}] = 0

また、同じ演算子間の交換子も00だ。したがって(1)(1)を展開したとき、[x,px], [y,py], [z,pz][x,p_{x}],\ [y,p_{y}],\ [z,p_{z}]のこの3つだけが00ではない値を持つことになる。だから00ではない項だけに注目すれば良い。最初の項を展開すると、y[pz,z]pxy[p_{z},z]p_{x}を除いたすべての項が00だ。第二項を展開すると、すべての項が00だ。第三項を展開すると、すべての項が00だ。第四項を展開すると、x[z,pz]pyx[z,p_{z}]p_{y}を除いたすべての項が00だ。(理解できないなら、自分で展開して解いてみてくれ。)したがって次を得る。

[Lx,Ly]=y[pz,z]p+x[z,pz]py [L_{x},L_{y}] = y[p_{z},z]p_{+}x[z,p_{z}]p_{y}

ここで位置-運動量交換子[x,px]=i[x, p_{x}] = \i\hbarを使うと、次のように計算される。

[Lx,Ly]=y[pz,z]pxx[z,pz]py=i(ypx)+i(xpy)=i(xpyypx)=iLz \begin{align*} [L_{x},L_{y}] &= y[p_{z},z]p_{x} - x[z,p_{z}]p_{y} \\ &= -\i\hbar (yp_{x}) + \i\hbar (xp_{y}) \\ &= \i \hbar (xp_{y} - yp_{x}) \\ &= \i \hbar L_{z} \end{align*}

同じ論理から次を得る。

[Ly,Lz]=iLx,[Lz,Lx]=iLy [L_{y},L_{z}] = \i \hbar L_{x}, \qquad [L_{z}, L_{x}] = \i \hbar L_{y}

(2)(2)

交換子の性質(1)(1)を使うと、[Lz,Lz]=0[L_{z}, L_{z}] = 0なので、次を得る。

[L2,Lz]=[Lx2+Ly2+Lz2,Lz]=[Lx2,Lz]+[Ly2,Lz]+[Lz2,Lz]=Lx[Lx,Lz]+[Lx,Lz]Lx+Ly[Ly,Lz]+[Ly,Lz]Ly=(iLxLy)+(iLyLx)+iLyLz+iLxLy=0 \begin{align*} [L^2, L_{z}] &= [{L_{x}}^2 + {L_{y}}^2 + {L_{z}}^2, L_{z}] \\ &= [{L_{x}}^2,L_{z}] + [{L_{y}}^2, L_{z}] +[{L_{z}^2}, L_{z}] \\ &= L_{x}[L_{x}, L_{z}] + [L_{x}, L_{z}]L_{x} + L_{y}[L_{y}, L_{z}] + [L_{y}, L_{z}]L_{y} \\ &= (-\i\hbar L_{x}L_{y}) + (-\i\hbar L_{y}L_{x}) + \i\hbar L_{y}L_{z} + \i\hbar L_{x}L_{y} \\ &= 0 \end{align*}

同様に、次の式が成り立つ。

[L2,Lx]=[L2,Ly]=0 [L^2, L_{x}] = [L^2, L_{y}] = 0