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ミンコフスキー不等式 📂線形代数

ミンコフスキー不等式

定理

ベクトルx=(x1,x2,…,xn)\mathbf{x}= (x_{1} , x_{2} , \dots , x_{n} )、y=(y1,y2,…,yn)\mathbf{y} = (y_{1} , y_{2} , \dots , y_{n} )と11より大きい実数ppに対し、次の式が成り立つ。

(∑k=1n∣xk+yk∣p)1p≤(∑k=1n∣xk∣p)1p+(∑k=1n∣yk∣p)1p \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{p} \right)^{{1} \over {p}} \le \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1} \over {p}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1} \over {p}}

これをミンコフスキーの不等式minkowski’s inequalityという。

説明

ミンコフスキーの不等式はpp-ノルムの定義からの三角不等式に該当する。他の証明方法があるかは分からないけど、通常通りヘルダーの不等式を使用すると、循環論法になってしまう。これはヘルダーの不等式を説明するときに、既にpp-ノルムが定義されていることを前提としているからであるが、本質的にヘルダーの不等式の証明にはこのようなノルムの性質が不要なので、適切に表現を変える必要がある。

証明

三角不等式により、以下の式が成り立つ。

∑k=1n∣xk+yk∣p≤∑k=1n∣xk∣∣xk+yk∣p−1+∑k=1n∣yk∣∣xk+yk∣p−1=∣∑k=1n∣xk∣∣xk+yk∣p−1∣+∣∑k=1n∣yk∣∣xk+yk∣p−1∣ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^p \le & \sum_{k=1}^{n} |x_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} + \sum_{k=1}^{n} |y_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \\ =& \left| \sum_{k=1}^{n} |x_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \right| + \left| \sum_{k=1}^{n} |y_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \right| \end{align*}

ヘルダーの不等式

1p+1q=1\displaystyle {{1 } \over {p}} + {{1} \over {q}} = 1を満たす二つの定数p,q>1p, q>1とu,v∈Cn\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{C}^nに対し

∣∑k=1nukvk∣≤(∑k=1n∣uk∣p)1p(∑k=1n∣vk∣q)1q \left| \sum_{k=1}^{n} u_{k} v_{k} \right| \le \left( \sum_{k=1}^{n} |u_{k}|^p \right)^{{1} \over {p}} \left( \sum_{k=1}^{n} |v_{k}|^q \right)^{{1} \over {q}}

ヘルダーの不等式により、以下のようである。

∣∑k=1n∣xk∣∣xk+yk∣p−1∣+∣∑k=1n∣yk∣∣xk+yk∣p−1∣≤(∑k=1n∣xk∣p)1p(∑k=1n∣xk+yk∣(p−1)q)1q+(∑k=1n∣yk∣p)1p(∑k=1n∣xk+yk∣(p−1)q)1q \left| \sum_{k=1}^{n} |x_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \right| + \left| \sum_{k=1}^{n} |y_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \right| \\ \le \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{(p-1)q} \right)^{{1}\over{q}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{(p-1)q} \right)^{{1}\over{q}}

1p+1q=1\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1より(p−1)q=p(p-1)q = pであり、再整理すると以下のようである。

∑k=1n∣xk+yk∣p≤[(∑k=1n∣xk∣p)1p+(∑k=1n∣yk∣p)1p](∑k=1n∣xk+yk∣p)1q \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^p \le \left[ \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} \right] \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{p} \right)^{{1}\over{q}}

両辺を(∑k=1n∣xk+yk∣p)1q\left( \sum \limits_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{p} \right)^{{1}\over{q}}で割ると、以下のようになる。

(∑k=1n∣xk+yk∣p)1−1q≤(∑k=1n∣xk∣p)1p+(∑k=1n∣yk∣p)1p \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^p \right) ^{1 - {{1} \over {q}}} \le \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}}

ここで1−1q=1p1 - \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{p}であるため、以下の結果を得る。

(∑k=1n∣xk+yk∣p)1p≤(∑k=1n∣xk∣p)1p+(∑k=1n∣yk∣p)1p \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{p} \right)^{{1} \over {p}} \le \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1} \over {p}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1} \over {p}}

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参照