📂行列代数

対角化可能な行列の累乗のトレースがその固有値の累乗の和に等しいことを証明する

定理

対角化可能な行列$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$と自然数$k \in \mathbb{N}$が与えられたとする。$A$の固有値を$\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n}$とすれば、次が成り立つ。 $$ \operatorname{tr} A^{k} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{k} $$ ここで$\operatorname{tr}$はトレースである。

説明

補題とまでは言えないが、$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$が対称行列の場合、$A^{2}$の対角和は$A$の要素毎の二乗の和に等しい点が有用だ。 $$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}^{2} = \operatorname{tr} A A^{T} = \tr A^{2} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{2} $$ 実際、この事実はクレイグの定理の証明に使われる。

証明 ¹

ユニタリー行列$Q$と対角行列$\diag \left( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{n} \right)$について$A = Q \Lambda Q^{\ast}$とする。

トレースの循環性: $$ \operatorname{tr} (ABC) = \operatorname{tr} (BCA) = \operatorname{tr} (CAB) $$

$$ \begin{align*} \operatorname{tr} A^{k} =& \operatorname{tr} Q \Lambda Q^{\ast} \cdots Q \Lambda Q^{\ast} \\ =& \operatorname{tr} Q \Lambda^{k} Q^{\ast} \\ =& \operatorname{tr} Q^{\ast} Q \Lambda^{k} \\ =& \operatorname{tr} I \Lambda^{k} \\ =& \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{k} \end{align*} $$

■