📂統計的検定

小標本による母平均の仮説検定

帰無仮説検定 ¹

母集団の分布が正規分布 $N \left( \mu , \sigma^{2} \right)$ に従うが、母分散 $\sigma^{2}$ はわからないとする。標本が $n < 30$ 個だけの小標本の場合、その母平均の候補 $\mu_{0}$ に対する帰無仮説検定は次の通りだ。

• $H_{0}$: $\mu = \mu_{0}$ だ。つまり、母平均は $\mu_{0}$ だ。
• $H_{1}$: $\mu \ne \mu_{0}$ だ。つまり、母平均は $\mu_{0}$ ではない。

検定統計量

検定統計量は標本標準偏差 $s$ を使って次のようになる。 $$t = {{ \overline{X} - \mu_{0} } \over { s / \sqrt{n} }}$$

説明

本質的に母平均に対する大標本帰無仮説検定と変わらないが、小標本でも使える代わりに母集団の正規性が仮定されなければならない。幸いにもt-分布はサンプルサイズに大きく影響されず、そのため統計量 $t$ をロバスト^robustと呼ぶが、数理的な導出過程とは関係なく、実際にはある程度母集団の正規性が欠けていても、変化はそれほど大きくない。

導出

スチューデントの定理によると、確率変数 $X_{1} , \cdots , X_{n}$ がiidで正規分布 $N\left( \mu,\sigma^{2} \right)$ に従うとする

• (a): $$\overline{X} \sim N\left( \mu , { {\sigma^2} \over {n} } \right)$$
• (b): $$\overline{X} \perp S^2$$
• (c): $$(n-1) { {S^2} \over {\sigma^2} } \sim \chi^2 (n-1)$$
• (d): $$T = { {\overline{X} - \mu } \over {S / \sqrt{n}} } \sim t(n-1)$$

スチューデントの定理に従い、検定統計量 $t$ は正確に自由度 $(n-1)$ のt-分布に従う。確率変数 $Y$ がt-分布 $t(n-1)$ に従う場合、有意水準 $\alpha$ に対し、$P \left( Y \ge t_{\alpha} \right) = \alpha$ を満たす $t_{\alpha}$ で、$H_{0}$ が棄却されることは次のことと等価だ。 $$\left| t \right| \ge t_{\alpha}$$ これは、帰無仮説に従い$\mu = \mu_{0}$ と信じることは、$\overline{X}$ が$\mu_{0}$ から遠すぎるという意味になる。

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