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ホモロジーグループのベッチ数 📂位相データ分析

ホモロジーグループのベッチ数

概要

代数位相algebraic Topologyにおいて、幾何学的な意味を考えずに単に定義だけを述べると、ベッチ数betti numberとは、単にチェインコンプレックスでのホモロジーグループランクに過ぎない。問題は、このような説明がベッチ数の意味を知りたい人にとって全く役に立たず、その具体的な計算も難解であり、例を通して学ぶことも困難であることである。

この投稿では、少なくとも2つ目の質問に対する答え―ベッチ数をどのように計算するかについての整理とその詳細な証明を紹介する。以下に紹介される定理によれば、与えられたチェインコンプレックスに従ってある行列を見つけることができ、それに関する一連の計算プロセスを通じて、以下のような明示的explicitな公式を導出することができる。 βp=rank?1rank?2 \beta_{p} = \rank ?_{1} - \rank ?_{2}

本来、数学的な内容は数学を使わずに伝えられることが最も良い説明であるが、ベッチ数の場合は、その公式の導出過程の中でその根本的な原理を理解することができると考えられる。学部生程度では証明の難易度がかなり高く、追いかけるのが難しいかもしれないが、できるだけ省略せずに詳細に書いたので、少なくとも一度は試みることをお勧めする。

定理

ホモロジーグループの定義:

  1. nN0n \in \mathbb{N}_{0} とする。アーベル群 CnC_{n}ホモモルフィズム n:CnCn1\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1} のチェイン Cn+1n+1CnnCn1C11C000 \cdots \longrightarrow C_{n+1} \overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} C_{n} \overset{\partial_{n}}{\longrightarrow} C_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow C_{1} \overset{\partial_{1}}{\longrightarrow} C_{0} \overset{\partial_{0}}{\longrightarrow} 0 これがすべての nn に対して nn+1=0 \partial_{n} \circ \partial_{n+1} = 0 を満たす場合、C:={(Cn,n)}n=0\mathcal{C} := \left\{ \left( C_{n}, \partial_{n} \right) \right\}_{n=0}^{\infty}チェインコンプレックスchain Complexという。
  2. 商群 Hn:=kern/Imn+1H_{n} := \ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1}C\mathcal{C} の**nn番目のホモロジーグループ**nn-th Homology groupという。
  3. ホモモルフィズム n:CnCn1\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1}境界boundaryまたは微分differentialオペレーターという。
  4. Zn:=kernZ_{n} := \ker \partial_{n} の要素を**nn-サイクル**cyclesBn:=Imn+1B_{n} := \operatorname{Im} \partial_{n+1} の要素を**nn-境界**boundaryという。

フリーチェインコンプレックスの標準基底分解

チェインコンプレックス C:={(Cp,p)}\mathcal{C} := \left\{ \left( C_{p}, \partial_{p} \right) \right\} のすべての CpC_{p}有限ランクのフリーグループであるとする。するとすべての ppZp:=kerpZ_{p} := \ker \partial_{p} に対して、次を満たす部分群 Up,Vp,WpCpU_{p}, V_{p}, W_{p} \subset C_{p} と が存在する。 Cp=UpVpWp=UpZp \begin{align*} C_{p} =& U_{p} \oplus V_{p} \oplus W_{p} \\ =& U_{p} \oplus Z_{p} \end{align*} p(Up)WpZp=VpWp \begin{align*} \partial_{p} \left( U_{p} \right) \subset & W_{p} \\ Z_{p} =& V_{p} \oplus W_{p} \end{align*} もちろん、ZpZ_{p}p\partial_{p}であるため、p(Vp)=0\partial_{p} \left( V_{p} \right) = 0 であり、p(Wp)=0\partial_{p} \left( W_{p} \right) = 0 である。さらに、UpU_{p} での p\partial_{p}制限関数 pUp:UpWp1{\partial_{p}}_{| U_{p}} : U_{p} \to W_{p-1} は、次のような形のスミス標準形を持つ。 [b100bl] \begin{bmatrix} b_{1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & b_{l} \end{bmatrix} ここで、biNb_{i} \in \mathbb{N} であり、b1blb_{1} \mid \cdots \mid b_{l} である。

ホモロジーグループの効率的な計算可能性 1

Hp(C)H_{p} \left( \mathcal{C} \right)ベッチ数C\mathcal{C}pp番目のベッチ数betti numberという。有限コンプレックスKKβp\beta_{p} は次のようである。 βp=rankZprankBp \beta_{p} = \rank Z_{p} - \rank B_{p} その具体的な値は、次のようにp\partial_{p} のスミス標準形によって計算することができる。図では、青い点線が11 の対角成分を、オレンジの実線が11 でない対角成分を示し、その他のすべての成分は00 である。2

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ここで重要なのは、スミス標準形における11 の数rankBp1\rank B_{p-1} と、ゼロベクトルの列の数rankZp\rank Z_{p} である。

証明 3

Part 1. BpWpZpCpB_{p} \subset W_{p} \subset Z_{p} \subset C_{p}

Zp:=kerpBp:=Imp+1Wp:={cpCp:λcpBp,m0} \begin{align*} Z_{p} :=& \ker \partial_{p} \\ B_{p} :=& \operatorname{Im} \partial_{p+1} \\ W_{p} :=& \left\{ c_{p} \in C_{p} : \lambda c_{p} \in B_{p} , \forall m \ne 0 \right\} \end{align*} と置く。特に、WpW_{p}CpC_{p}部分群となり、λ=1\lambda = 1 のみを考えた場合にBp=WpB_{p} = W_{p} であるという点で、境界boundaryBpB_{p} の条件を弱めたものと見なすことができるため、弱い境界weak Boundariesと呼ばれる。

  • WpW_{p} の定義から、λ1\lambda \ne 1 を考えると BpWp B_{p} \subset W_{p}
  • ZpZ_{p} の定義から、zpZp\forall z_{p} \in Z_{p}pzp=0\partial_{p} z_{p} = 0 であり、Zp=kerpZ_{p} = \ker \partial_{p}p:CpCp1\partial_{p} : C_{p} \to C_{p-1} であるため ZpCp Z_{p} \subset C_{p}
  • CpC_{p}フリーグループと仮定されているため、トーションフリー、すなわちzpZpCp\forall z_{p} \in Z_{p} \subset C_{p} に対してλzp=0\lambda z_{p} = 0 を満たすλ0\lambda \ne 0 が存在しない。一方、すべてのcp+1Cp+1c_{p+1} \in C_{p+1} に対して p+1cp+1=λzpWp \partial_{p+1} c_{p+1} = \lambda z_{p} \in W_{p} の両辺にp\partial_{p} を適用すると 0=pp+1cp+1=pλzp=λpzp 0 = \partial_{p} \partial_{p+1} c_{p+1} = \partial_{p} \lambda z_{p} = \lambda \partial_{p} z_{p} であるため、pzp=0\partial_{p} z_{p} = 0 でなければならない。これは、λzpWp\lambda z_{p} \in W_{p} ならばλzpZp\lambda z_{p} \in Z_{p} であることを意味するため WpZp W_{p} \subset Z_{p}

このような考察から、次の包含関係を得る。 BpWpZpCp B_{p} \subset W_{p} \subset Z_{p} \subset C_{p}


Part 2. WpZpW_{p} \subset Z_{p}ZpZ_{p} の直和群direct Summandである

  • pp番目のホモロジーグループHp(C)=Zp/BpH_{p} \left( \mathcal{C} \right) = Z_{p} / B_{p} の定義から proj1:ZpHp(C) \text{proj}_{1} : Z_{p} \to H_{p} \left( \mathcal{C} \right) 剰余類BpB_{p} に相当するだけのランクが下がった射影であり
  • Hp(C)H_{p} \left( \mathcal{C} \right)トーション部分群Tp(C)Hp(C)T_{p} \left( \mathcal{C} \right) \subset H_{p} \left( \mathcal{C} \right) に対して proj2:Hp(C)Hp(C)/Tp(C) \text{proj}_{2} : H_{p} \left( \mathcal{C} \right) \to H_{p} \left( \mathcal{C} \right) / T_{p} \left( \mathcal{C} \right) も射影である。

第1同型定理: 準同型写像ϕ:GG\phi : G \to G' が存在する場合 G/ker(ϕ)ϕ(G)G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)

これにより、proj:=proj1proj2\text{proj} := \text{proj}_{1} \circ \text{proj}_{2} として定義された proj:ZpHp(C)/Tp(C) \text{proj} : Z_{p} \to H_{p} \left( \mathcal{C} \right) / T_{p} \left( \mathcal{C} \right) も射影である。WpW_{p} の要素はp+1dp+1\partial_{p+1} d_{p+1} のように表されるため、この射影proj\text{proj}WpW_{p} であり、すべての射影は全射surjectionであるため、第1同型定理により Zp/WpHp/Tp Z_{p} / W_{p} \simeq H_{p} / T_{p} が成立する。ここで、右辺のHpH_{p} がどのようになっているかにかかわらず、トーション部分群TpT_{p} で取り除いたため、トーションフリーであり、これにより、左辺のZp/WpZ_{p} / W_{p} もトーションフリーであることが保証される。したがって、α1,,αk\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{k}Zp/WpZ_{p} / W_{p} の基底であり、α1,,αlWp\alpha'_{1} , \cdots , \alpha'_{l} \in W_{p}WpW_{p} の基底であるとした場合、α1,,αk,α1,,αl\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{k}, \alpha'_{1} , \cdots , \alpha'_{l}ZpZ_{p} の基底となる。したがって、ZpZ_{p}Zp=VpWp Z_{p} = V_{p} \oplus W_{p} のように、α1,,αk\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{k} を基底とする部分群VpV_{p}WpW_{p}直和として表現できる。


Part 3. Zp,Bp1,Wp1Z_{p}, B_{p-1}, W_{p-1} の基底

ホモモルフィズムのスミス標準形: フリーアーベル群GGGG' のランクがそれぞれn,mn,m であり、f:GGf : G \to G' がホモモルフィズムである場合、次のような行列を持つホモモルフィズムgg が存在する。 [d10000000000dr000000000000]Zm×n \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{r} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{Z}^{m \times n} ここで、d1,,drNd_{1} , \cdots, d_{r} \in \mathbb{N} であり、d1drd_{1} \mid \cdots \mid d_{r}、つまりdkd_{k}dk+1d_{k+1} の約数divisorである必要がある。

p:CpCp1\partial_{p} : C_{p} \to C_{p-1} は、次のようなスミス標準形m×nm \times n 行列を持つ。

e1elelene1elelem[d10000000000dr000000000000] \begin{matrix} & \begin{matrix} e_{1} & \cdots & e_{l} & e_{l} & \cdots & e_{n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} e'_{1} \\ \vdots \\ e'_{l} \\ e'_{l} \\ \vdots \\ e'_{m} \end{matrix} & \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{r} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \end{matrix}

これにより、我々は直接的な計算を通じて次の3つを示すことになる:

  • (1): el+1,,ene_{l+1} , \cdots , e_{n}ZpZ_{p} の基底である。
  • (2): b1e1,,blelb_{1} e'_{1} , \cdots , b_{l} e'_{l}Bp1B_{p-1} の基底である。
  • (3): e1,,ele'_{1} , \cdots , e'_{l}Wp1W_{p-1} の基底である。

補題

  • p\partial_{p} の定義により、一般的なcpCpc_{p} \in C_{p} に対して次が成立する。 cp=i=1naiei    pcp=i=1laibiei c_{p} = \sum_{i=1}^{n} a_{i} e_{i} \implies \partial_{p} c_{p} = \sum_{i=1}^{l} a_{i} b_{i} e'_{i}
  • (1): bi0b_{i} \ne 0 であるため、Zp=kerpZ_{p} = \ker \partial_{p} である必要十分条件は、i=1,li = 1 \cdots , l に対してai=0a_{i} = 0 であることである。したがって、el+1,,ene_{l+1} , \cdots , e_{n}ZpZ_{p} の基底である。
  • (2): すべてのpcpBp1\partial_{p} c_{p} \in B_{p-1}b1e1,,blelb_{1} e'_{1} , \cdots , b_{l} e'_{l}線形結合として表現され、bi0b_{i} \ne 0 であるため、b1e1,,blelb_{1} e'_{1} , \cdots , b_{l} e'_{l}Bp1B_{p-1} の基底である。
  • (3): biei=eib_{i} e'_{i} = \partial e_{i} であるため、まずe1,,elWp1e'_{1}, \cdots, e'_{l} \in W_{p-1} である。逆に、cp1Cp1c_{p-1} \in C_{p-1}cp1=i=1mdiei c_{p-1} = \sum_{i=1}^{m} d_{i} e'_{i} と置き、cp1Wp1c_{p-1} \in W_{p-1} と仮定すると、Wp1W_{p-1}Wp1={cpCp:λcpBp,m0}W_{p-1} = \left\{ c_{p} \in C_{p} : \lambda c_{p} \in B_{p} , \forall m \ne 0 \right\} のように定義されていたため、cp1c_{p-1} はあるλ0\lambda \ne 0 に対して λcp1=cp=i=1laibiei \lambda c_{p-1} = \partial c_{p} = \sum_{i=1}^{l} a_{i} b_{i} e'_{i} の形で表現できる。係数を比較すると、i>li > l に対して λdi=0    di=0 \lambda d_{i} = 0 \implies d_{i} = 0 を得る。したがって、e1,,ele'_{1} , \cdots , e'_{l}Wp1W_{p-1} の基底である。

Part 4. ‘フリーチェインコンプレックスの標準基底分解’の証明

CpC_{p}Cp1C_{p-1} に対して、これまでの議論で登場するe1,,ele_{1} , \cdots , e_{l} によって生成されるフリーグループUpU_{p} とすると、Zp=VpWpZ_{p} = V_{p} \oplus W_{p} であるため、Vp=Wp=0\partial V_{p} = \partial W_{p} = 0 であり Cp=UpZp=Up(VpWp) \begin{align*} C_{p} =& U_{p} \oplus Z_{p} \\ =& U_{p} \oplus \left( V_{p} \oplus W_{p} \right) \end{align*} を得る。ここで、WpW_{p}ZpZ_{p}CpC_{p} により一意であるが、UpU_{p}VpV_{p} は必ずしも一意である必要はないことに注意されたい。


Part 5. ‘ホモロジーグループの効率的な計算可能性’の証明

Part 4により、コンプレックスKK に対して、次の分解が存在することが保証される。 Cp(K)=UpVpWpZp=VpWp \begin{align*} C_{p} \left( K \right) =& U_{p} \oplus V_{p} \oplus W_{p} \\ Z_{p} =& V_{p} \oplus W_{p} \end{align*}

直和の性質: G=G1G2G = G_{1} \oplus G_{2} としよう。もしH1H_{1}G1G_{1} の部分群であり、H2H_{2}G2G_{2} の部分群である場合、H1H_{1}H2H_{2} も直和として表現でき、特に次が成立する。 GH1H2G1H1G2H2{{ G } \over { H_{1} \oplus H_{2} }} \simeq {{ G_{1} } \over { H_{1} }} \oplus {{ G_{2} } \over { H_{2} }}

  • [1]: H1G1H_{1} \simeq G_{1} であり、H2{0}H_{2} \simeq \left\{ 0 \right\} とすると G/G1G2 G / G_{1} \simeq G_{2}
  • [2]: H1{0}H_{1} \simeq \left\{ 0 \right\} とすると GH2G1G2H2 {{ G } \over { H_{2} }} \simeq G_{1} \oplus {{ G_{2} } \over { H_{2} }}

Part 1でBpWpZpCpB_{p} \subset W_{p} \subset Z_{p} \subset C_{p} であったため、直和の性質により Hp(K)=Zp/Bp=(VpWpBp)=Vp(WpBp)[2]=(ZpWp)(WpBp)[1] \begin{align*} H_{p} \left( K \right) =& Z_{p} / B_{p} \\ =& \left( {{ V_{p} \oplus W_{p} } \over { B_{p} }} \right) \\ =& V_{p} \oplus \left( {{ W_{p} } \over { B_{p} }} \right) & \because [2] \\ =& \left( {{ Z_{p} } \over { W_{p} }} \right) \oplus \left( {{ W_{p} } \over { B_{p} }} \right) & \because [1] \end{align*} を得る。ここで、Hp(K)=(Zp/Wp)(Wp/Bp)H_{p} \left( K \right) = \left( Z_{p} / W_{p} \right) \oplus \left( W_{p} / B_{p} \right)

  • Zp/WpZ_{p} / W_{p}フリーパートであり
  • Wp/BpW_{p} / B_{p}トーションパートである。

これにより、KKpp番目のベッチ数βp\beta_{p} は、次のように求められる。 βp=rankHp(K)=rank[(Zp/Wp)(Wp/Bp)]=rank(Zp/Wp)+rank(Wp/Bp)=[rankZprankWp]+[rankWprankBp]=rankZprankBp \begin{align*} \beta_{p} =& \rank H_{p} \left( K \right) \\ =& \rank \left[ \left( Z_{p} / W_{p} \right) \oplus \left( W_{p} / B_{p} \right) \right] \\ =& \rank \left( Z_{p} / W_{p} \right) + \rank \left( W_{p} / B_{p} \right) \\ =& \left[ \rank Z_{p} - \rank W_{p} \right] + \left[ \rank W_{p} - \rank B_{p} \right] \\ =& \rank Z_{p} - \rank B_{p} \end{align*}

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一方、Hp1(K)H_{p-1}(K) のトーションパートとb1blNb_{1} | \cdots | b_{l} \in \mathbb{N} に対しては、次のようなアイソモルフィズムが存在することが分かる。 Wp1/Bp1(Zb1Z)(ZblZ) W_{p-1} / B_{p-1} \simeq \left( {{ \mathbb{Z} } \over { b_{1} \mathbb{Z} }} \right) \oplus \cdots \oplus \left( {{ \mathbb{Z} } \over { b_{l} \mathbb{Z} }} \right) ここで、ili \le l に対してbi=1b_{i} = 1 であること、つまりBp1B_{p-1} のランクがll であることは Z/biZ=Z/Z={0} \mathbb{Z} / b_{i} \mathbb{Z} = \mathbb{Z} / \mathbb{Z} = \left\{ 0 \right\} であるため、Wp1W_{p-1} のランクがll 分だけ減少することを覚えておく。

トーラス

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β0=1β1=2β2=1 \begin{align*} \beta_{0} =& 1 \\ \beta_{1} =& 2 \\ \beta_{2} =& 1 \end{align*}

トーラスのベッチ数は上記のように知られている。このトーラスのチェインコンプレックスが上の図のように定義されている場合、例としてβ1=2\beta_{1} = 2 のみを計算してみよう。上で導出された公式を使用せずに単に数学的に考えて計算する方法もあるが、読めば分かる通り、頭が痛くなるほど難しい。これと対照的に、「ホモロジーを効率的に計算する」ということがどれほど便利かを見てみよう。

ホモモルフィズムのスミス標準形: フリーアーベルグループGGGG' に対して、a1,,ana_{1} , \cdots , a_{n}GG の基底であり、a1,,ama_{1}' , \cdots , a_{m}'GG' の基底であるとする。もし関数f:GGf : G \to G'ホモモルフィズムであれば、次を満たす唯一の整数の集合{λij}Z\left\{ \lambda_{ij} \right\} \subset \mathbb{Z} が存在する。 f(aj)=i=1mλijai f \left( a_{j} \right) = \sum_{i=1}^{m} \lambda_{ij} a_{i}' この時行列(λij)Zm×n\left( \lambda_{ij} \right) \in \mathbb{Z}^{m \times n} を(GGGG' の基底に関する)ff の行列という。

β1=rankZ1rankB1\beta_{1} = \rank Z_{1} - \rank B_{1} であるため、少なくとも境界行列(1)\left( \partial_{1} \right)(2)\left( \partial_{2} \right) を求める必要がある。すべてのa,b,cC1(T)a , b, c \in C_{1} (T) に対して 1(a)=vv=0=0v1(b)=vv=0=0v1(c)=vv=0=0v \begin{align*} \partial_{1} (a) =& v - v = 0 = 0v \\ \partial_{1} (b) =& v - v = 0 = 0v \\ \partial_{1} (c) =& v - v = 0 = 0v \end{align*} であるため (1)=[000]    Z1=3,B0=0 \left( \partial_{1} \right) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \implies Z_{1} = 3 , B_{0} = 0 を得る。ZpZ_{p} は行列の右側のゼロベクターの数であり、Bp1B_{p-1} は行列内の11 の数である。次に、2\partial_{2} を考えると 2(U)=ab+c2(L)=a+bc \begin{align*} \partial_{2} (U) =& -a -b +c \\ \partial_{2} (L) =& a + b - c \end{align*} であるため (2)=[111111][100000]    Z2=1,B1=1 \left( \partial_{2} \right) = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \implies Z_{2} = 1 , B_{1} = 1 を得る。これを総合すると、トーラスの11番目のベッチ数β1\beta_{1} は、次のように計算される。 β1=rankZ1rankB1=31=2 \beta_{1} = \rank Z_{1} - \rank B_{1} = 3 - 1 = 2 当然ながら、この結果は、この投稿に紹介された定理に従って、フリーグループがどうであり、アイソモルフィズムがどうであるかといった、あらゆる数学的知識を駆使して得た値と一致することが保証されている。少し大胆に言えば、頭を使わずに指示された通りに計算すれば、ベッチ数、つまり「ホモロジー」を「計算」することができると要約できるだろう。もう少し良い言い方をすると、コンピュータを通じて位相数学を研究する道が開かれたということだ。


  1. Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology: p58. ↩︎

  2. Edelsbrunner, Harer. (2010). Computational Topology An Introduction: p104. ↩︎

  3. Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology: p58~61. ↩︎