ワイエルシュトラスのM判定法
📂複素解析ワイエルシュトラスのM判定法
定理
関数fnとz∈Aについて、∣fn(z)∣≤Mnを満たす正の数列Mnが存在しn=1∑∞Mnが収束するならば、n=1∑∞fnはAで絶対収束し、一様収束する。
説明
Mテストという名称は、数列Mnから来ている。既に収束することが分かっているMnを上手く持ってきて、関数の絶対値と不等式を設定すれば、ただの収束ではなく、絶対収束と一様収束の両方を同時に示せる便利な定理だ。何よりも、不等式を設定した後は、実数の数列だけ考えればいいから、便利だ。
証明
絶対収束は非常に簡単に示せる。
交代級数テスト: bn↓0ならば、n=1∑∞(−1)nbnは収束する。
比較テストと定理の仮設によりn=1∑∞∣fn(z)∣は収束し、絶対収束の定義に従って、絶対収束すると言える。
次に、一様収束はコーシーの基準を利用して証明する。
n=1∑∞fn(z)においてk番目以降の残りの項の合計をRk(z)とし、n=1∑∞Mnにおいてk番目以降の残りの項の合計をRk∗とすると、次が成り立つ。
∣Rk(z)∣=n=k+1∑∞fn(z)≤n=k+1∑∞∣fn(z)∣≤n=k+1∑∞Mn=Rk∗
コーシーの基準: n=1∑∞anが収束することはn→∞limk=n∑n+mak=0と同値だ。
コーシーの基準によりk→∞limRk∗=0なので、k→∞lim∣Rk(z)∣=0、すなわちk→∞limRk(z)=0である。すべてのz∈Aに対して上記の議論が適用できるので、n=1∑∞fn(z)はAで一様収束する。
■