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ワイエルシュトラスのM判定法 📂複素解析

ワイエルシュトラスのM判定法

定理 1

関数fnf_{n}zAz \in Aについて、fn(z)Mn|f_{n}(z)| \le M_{n}を満たす正の数列MnM_{n}が存在しn=1Mn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}が収束するならば、n=1fn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}AAで絶対収束し、一様収束する。

説明

Mテストという名称は、数列MnM_{n}から来ている。既に収束することが分かっているMnM_{n}を上手く持ってきて、関数の絶対値と不等式を設定すれば、ただの収束ではなく、絶対収束と一様収束の両方を同時に示せる便利な定理だ。何よりも、不等式を設定した後は、実数の数列だけ考えればいいから、便利だ。

証明

絶対収束は非常に簡単に示せる。

交代級数テスト: bn0b_n \downarrow 0ならば、n=1(1)nbn\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ (-1)^{n} {b}_{n}}は収束する。

比較テストと定理の仮設によりn=1fn(z)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |f_{n}(z)|は収束し、絶対収束の定義に従って、絶対収束すると言える。

次に、一様収束はコーシーの基準を利用して証明する。

n=1fn(z)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)においてkk番目以降の残りの項の合計をRk(z)R_{k}(z)とし、n=1Mn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}においてkk番目以降の残りの項の合計をRkR_{k}^{ \ast }とすると、次が成り立つ。 Rk(z)=n=k+1fn(z)n=k+1fn(z)n=k+1Mn=Rk |R_{k}(z)| = \left| \sum_{n=k+1}^{\infty} f_{n}(z) \right| \le \sum_{n=k+1}^{\infty} |f_{n}(z)| \le \sum_{n=k+1}^{\infty} M_{n} = R_{k}^{ \ast }

コーシーの基準: n=1an\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}が収束することはlimnk=nn+mak=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum _{ k=n }^{ n+m }{ { a }_{ k }}=0と同値だ。

コーシーの基準によりlimkRk=0\displaystyle \lim_{k \to \infty} R_{k}^{ \ast } = 0なので、limkRk(z)=0\displaystyle \lim_{k \to \infty} |R_{k}(z)| = 0、すなわちlimkRk(z)=0\displaystyle \lim_{k \to \infty} R_{k}(z) = 0である。すべてのzAz \in Aに対して上記の議論が適用できるので、n=1fn(z)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)AAで一様収束する。


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p122. ↩︎