スターリングの公式の統計的証明
정리
$$ \lim_{n \to \infty} {{n!} \over {e^{n \ln n - n} \sqrt{ 2 \pi n} }} = 1 $$
설명
スターリングの近似またはスターリングの公式stirling formulaは、統計学や物理学など様々な場所で役立つ。確率分布論に精通していれば、数理統計学的な証明は他の証明に比べ直感的で理解しやすい。
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証明
$X_{1} , \cdots , X_{n} \overset{\text{iid}}{\sim} \exp (1)$ とする。
指数分布とガンマ分布の関係: $$ \displaystyle \Gamma \left(1, { 1 \over \lambda } \right) \iff \text{exp} (\lambda) $$
ガンマ分布の和: $X_i \sim \Gamma ( k_{i}, \theta)$ ならば $$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} X_{i} \sim \Gamma \left( \sum_{i=1}^{n} k_{i} , \theta \right) $$
$X_{1} , \cdots , X_{n}$ はiidなので、$Y = \sum_{k=1}^{n} X_{k}$ は自由度が$n,1$ のガンマ分布に従って、$\Gamma (n,1)$ とする。一方 $E X_{k} = \operatorname{Var} X_{k} = 1$ のため、中心極限定理によれば $n \to \infty$ の時 $$ {{ \sum_{k=1}^{n} X_{k}/n - 1 } \over { 1 / \sqrt{n} }} \overset{D}{\to} N (0,1) $$ となる。つまり、$Z$ が標準正規分布に従う確率変数とすると、全ての $x \in \mathbb{R}$ に対して $$ \begin{align*} & P \left( {{ Y/n - 1 } \over { 1 / \sqrt{n} }} \le x \right) \to P \left( Z \le x \right) \\ \implies & P \left( Y/n \le {{ x } \over { \sqrt{n} }} + 1 \right) \to P \left( Z \le x \right) \\ \implies & P \left( Y \le \sqrt{n} x + n \right) \to P \left( Z \le x \right) \end{align*} $$ である。十分に大きい $n \in \mathbb{N}$ について、累積分布関数 $F_{\square}$ に対して $$ F_{Y} \left( \sqrt{n} x + n \right) \approx F_{Z} (x) $$ と表せる。
ガンマ分布の確率密度関数 $$ f(x) = {{ 1 } \over { \Gamma ( k ) \theta^{k} }} x^{k - 1} e^{ - x / \theta} \qquad , x > 0 $$
標準正規分布の確率密度関数 $$ f(z) = {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} }} \exp \left[ - {{ z^{2} } \over { 2 }} \right] $$
両辺を $x$ で微分すると、微積分の基本定理により $$ \sqrt{n} \cdot {{ 1 } \over { \Gamma ( n ) 1^{n} }} \left( \sqrt{n} x + n \right)^{n - 1} e^{ - \left( \sqrt{n} x + n \right) / 1} \approx {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} }} \exp \left[ - {{ x^{2} } \over { 2 }} \right] $$ ここで、$x = 0$ ならば次を得る。 $$ \sqrt{n} \cdot {{ 1 } \over { \Gamma ( n ) }} \left( n \right)^{n - 1} e^{ - n } \approx {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} }} $$ ガンマ関数は階乗の一般化でもあるので、$\Gamma (n) = (n-1)!$ で、両辺に $(n-1)!\sqrt{2\pi}$ を掛けると $$ \sqrt{2 \pi n} e^{(n-1) \log n} e^{-n} \approx (n-1)! $$ 整理すると $$ \begin{align*} & e^{n\log n - n} e^{-\log n} \sqrt{2 \pi n} \approx (n-1)! \\ \implies & e^{n\log n - n} {{ 1 } \over { n }} \sqrt{2 \pi n} \approx (n-1)! \\ \implies & e^{n\log n - n} \sqrt{2 \pi n} \approx n! \end{align*} $$
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