📂確率微分方程式

ミルシュタイン法の導出

メソッド ¹

$$d X(t) = f \left( X_{t} \right) dt + g \left( X_{t} \right) d W_{t} \qquad , t \in [t_{0}, T]$$ イートプロセスが、上に記述された自律確率微分方程式の解であるとする。間隔が$h$で一定の等間隔時点$\left\{ t_{i} \le T : t_{i+1} = t_{i} + h \right\}_{i=0}^{N}$において、計算される$Y_{i} := Y \left( t_{i} \right)$は与えられた微分方程式の数値的解である。 $$Y_{i+1} = Y_{i} + f \left( Y_{i} \right) h + g \left( Y_{i} \right) \sqrt{h} Z + {{ 1 } \over { 2 }} g \left( Y_{i} \right) {{ d g \left( Y_{i} \right) } \over { d y }} h \left( Z^{2} - 1 \right)$$ ここで、$Z$は標準正規分布に従う確率変数である。

収束性

この解は強く$\gamma = 1$次に収束し、弱く$\beta = 1$次に収束する。

説明

ミルスタイン2次近似スキーム^{milstein 2nd-order Approximation Scheme}は、オイラー・マルヤマスキームに2次補正項^{2nd-order correction term}を加えて精度を向上させたメソッドだ。式が複雑に見えるが、インデックスが多いためで、少し省略すると次のようにきれいに書ける。 $$X_{t + h} = X_{t} + f_{t} h + g_{t} \sqrt{h} Z + {{ 1 } \over { 2 }} g_{t} g_{t}’ h \left( Z^{2} - 1 \right)$$

導出

$$\begin{align*} f_{t} &:= f \left( X_{t} \right) \\ g_{t} &:= g \left( X_{t} \right) \end{align*}$$ 便宜上、上記のようにする。$f$ と$g$は時間 $t$に独立しているため、$df / dt = dg / dt = 0$であり、$f ' (x)$とすると、$x$に関する$f$の導関数を表していることになる。

イートの公式: イートプロセス$\left\{ X_{t} \right\}_{t \ge 0}$が与えられているとする。 $$d X_{t} = u dt + v d W_{t}$$ 関数$V \left( t, X_{t} \right) = V \in C^{2} \left( [0,\infty) \times \mathbb{R} \right)$に対して$Y_{t} := V \left( t, X_{t} \right)$とすると、$\left\{ Y_{t} \right\}$もまたイートプロセスであり、次が成り立つ。 $$\begin{align*} d Y_{t} =& V_{t} dt + V_{x} d X_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} \left( d X_{t} \right)^{2} \\ =& \left( V_{t} + V_{x} u + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} v^{2} \right) dt + V_{x} v d W_{t} \end{align*}$$

$$d X(t) = f \left( X_{t} \right) dt + g \left( X_{t} \right) d W_{t}$$ 与えられたイートプロセスでイートの公式を使用して$d f_{t}$を計算してみよう。$V = f$とすると、イートの公式に従い $$\begin{align*} d f_{t} =& d f \left( X_{t} \right) \\ =& \left( {{ \partial f_{t} } \over { \partial t }} + {{ \partial f_{t} } \over { \partial x }} f_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial^{2} f_{t} } \over { \partial x^{2} }} g_{t}^{2} \right) dt + {{ \partial f_{t} } \over { \partial x }} g_{t} d W_{t} \\ =& \left( 0 + f_{t}’ f_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} f_{t}’’ g_{t}^{2} \right) dt + f_{t}’ g_{t} d W_{t} \end{align*}$$ となり、同様に$V = g$として$d g_{t}$を計算してみると $$\begin{align*} d g_{t} =& g f \left( X_{t} \right) \\ =& \left( {{ \partial g_{t} } \over { \partial t }} + {{ \partial g_{t} } \over { \partial x }} f_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} {{ \partial^{2} g_{t} } \over { \partial x^{2} }} g_{t}^{2} \right) dt + {{ \partial g_{t} } \over { \partial x }} g_{t} d W_{t} \\ =& \left( 0 + g_{t}’ f_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} g_{t}’’ g_{t}^{2} \right) dt + g_{t}’ g_{t} d W_{t} \end{align*}$$ となる。$t$から$s$までの積分形に変えてみると $$\begin{align*} f_{s} =& f_{t} + \int_{t}^{s} \left( f_{u}’ f_{u} + {{ 1 } \over { 2 }} f_{u}’’ g_{u}^{2} \right) du + \int_{t}^{s} f_{u}’ g_{u} d W_{u} \\ g_{s} =& g_{t} + \int_{t}^{s} \left( g_{u}’ f_{u} + {{ 1 } \over { 2 }} g_{u}’’ g_{u}^{2} \right) du + \int_{t}^{s} g_{u}’ g_{u} d W_{u} \end{align*}$$ となる。これをイートプロセスの積分形 $$X_{t+h} = X_{t} + \int_{t}^{t+h} f_{s} ds + \int_{t}^{t+h} g_{s} d W_{s}$$ に代入してみると、次を得る。 $$\begin{align*} X_{t+h} =& X_{t} + \int_{t}^{t + h} \left[ f_{t} + {\color{Red} \int_{t}^{s} \left( f_{u}’ f_{u} + {{ 1 } \over { 2 }} f_{u}’’ g_{u}^{2} \right) du + \int_{t}^{s} f_{u}’ g_{u} d W_{u} } \right] ds \\ & + \int_{t}^{t + h} \left[ g_{t} + {\color{Red} \int_{t}^{s} \left( g_{u}’ f_{u} + {{ 1 } \over { 2 }} g_{u}’’ g_{u}^{2} \right) du} + \int_{t}^{s} g_{u}’ g_{u} d W_{u} \right] d W_{s} \end{align*}$$

イートの掛け算テーブル: $dt$と$d W_{t}$の積は以下のようになる。 $$\begin{align*} \left( dt \right)^{2} =& 0 \\ dt d W_{t} =& 0 \\ d W_{t} dt =& 0 \\ \left( d W_{t} \right)^{2} =& dt \end{align*}$$

イートの掛け算テーブルにより、赤く塗られた部分はすべて$0$になる。結果として$f_{t}$と$g_{t}$を定数として扱う項と、積分因子$dW_{u} dW_{s}$の二重積分だけが残り、次のように書くことができる。 $$X_{t+h} = X_{t} + f_{t} \int_{t}^{t + h} ds + g_{t} \int_{t}^{t + h} d W_{s} + \int_{t}^{t + h} \int_{t}^{s} g_{u} g_{u}’ d W_{u} d W_{s}$$ 最後の項$\int_{t}^{t + h} \int_{t}^{s} g_{u} g_{u}’ d W_{u} d W_{s}$は、イートの公式の系 $$\begin{equation} \int_{a}^{b} W_{s} d W_{s} = {{ 1 } \over { 2 }} \left[ W_{b}^{2} - W_{a}^{2} \right] - {{ 1 } \over { 2 }} (b-a) \end{equation}$$ およびウィーナープロセスの増分の正規性、すなわち $$\begin{equation} \left( W_{t+h} - W_{t} \right) \sim \sqrt{h} N \left( 0, 1 \right) \end{equation}$$ により、標準正規分布に従う確率変数$Z \sim N (0,1)$に関して近似的に次のように計算される。 $$\begin{align*} & \int_{t}^{t + h} \int_{t}^{s} g_{u} g_{u}’ d W_{u} d W_{s} \\ \approx& g_{t} g_{t} ' \int_{t}^{t+h} \int_{t}^{s} d W_{u} d W_{s} \\ =& g_{t} g_{t} ' \int_{t}^{t+h} \left( W_{s} - W_{t} \right) d W_{s} \\ =& g_{t} g_{t} ' \left[ \int_{t}^{t+h} W_{s} d W_{s} - W_{t} \left( W_{t+h} - W_{t} \right) \right] \\ =& g_{t} g_{t} ' \left[ \int_{t}^{t+h} W_{s} d W_{s} - W_{t} W_{t+h} + W_{t}^{2} \right] \\ =& g_{t} g_{t} ' \left[ {{ W_{t + h}^{2} } \over { 2 }} - {{ W_{t}^{2} } \over { 2 }} - {{ h } \over { 2 }} - W_{t} W_{t+h} + W_{t}^{2} \right] & \cdots (1) \\ =& {{ 1 } \over { 2 }} g_{t} g_{t} ' \left[ W_{t + h}^{2} + W_{t}^{2} - h - 2 W_{t} W_{t+h} \right] \\ =& {{ 1 } \over { 2 }} g_{t} g_{t} ' \left[ \left( W_{t + h} - W_{t} \right)^{2} - h \right] \\ =& {{ 1 } \over { 2 }} g_{t} g_{t} ' \left[ h Z^{2} - h \right] & \cdots (2) \\ =& {{ 1 } \over { 2 }} g_{t} g_{t}’ h \left( Z^{2} - 1 \right) \end{align*}$$ これを整理すると、次を得る。 $$X_{i+1} = X_{i} + f_{i} h + g_{i} \sqrt{h} Z + {{ 1 } \over { 2 }} g_{i} g_{i}’ h \left( Z^{2} - 1 \right)$$

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