📂幾何学

平面曲線の接線、法線、および曲率

定義 ¹

単位スピード平面曲線$\alpha : (a,b) \to \mathbb{R}^{2}$ が与えられたとしよう。

1. タンジェント（ベクトル場）を$t (s) := \alpha^{\prime} (s)$ のように定義する。
2. $\left\{ t(s), n(s) \right\}$が$\mathbb{R}^{2}$の反時計回りの基底になるようにする唯一のベクトル場$n(s)$ をノーマル（ベクトル場）と定義する。
3. 平面曲率を$k(s) := \left< t^{\prime}(s) , n (s) \right>$ のように定義する。

基本性質

• [1] $$\begin{align*} \alpha (s) =& \left( x(s) , y(s) \right) \\ t(s) =& \left( x^{\prime}(s) , y^{\prime}(s) \right) \\ n(s) =& \left( -y^{\prime}(s) , x^{\prime}(s) \right) \end{align*}$$

• [2] $t(s)$ が微分可能ならば $$\begin{align*} t^{\prime}(s) =& \left< t^{\prime}(s) , t(s) \right> t(s) + \left< t^{\prime}(s) , n(s) \right> n(s) \\ =& 0 \cdot t(s) + k(s) n(s) \\ =& k(s) n(s) \end{align*}$$

• [3] $n(s)$ が微分可能ならば $$n^{\prime}(s) = - k(s) t(s)$$

• [4] フレネ-セレの道具で $$\begin{align*} t(s) =& T(s) \\ n(s) =& \pm N (s) \qquad , \text{if } \exists N(s) \\ \left| k (s) \right| =& \kappa (s) \end{align*}$$

説明

フレネ-セレの道具に似ているが、平面については新しく定義されたものが見られる。

特に曲率の場合、地元の曲線理論とは異なり、必ずしも正である必要はない。$k > 0$ の場合、曲線は$n$ の方向に近づく傾向があり、$k<0$ の場合は、$n$ から離れようとする。

このような平面曲線を考える理由は、3次元曲線の全体的な幾何を考えようとするときに、漠然と「回る」という考えが持てないからである。