📂幾何学

フレネ・セレの公式

式 ¹

$\alpha$が$\kappa (s) \ne 0$の単位スピードカーブだとすると $$ \begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*} $$

説明

行列の形で表すと次のようになる。 $$ \begin{bmatrix} T \\ N \\ B \end{bmatrix} ^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ - \kappa & 0 & \tau \\ 0 & - \tau & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T \\ N \\ B \end{bmatrix} $$

導出

補助定理: $n$次元の内積空間$V$で、$E = \left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$が直交集合だとすると、$E$は$V$の基底であり、全ての$v \in V$に対して $$ v = \sum_{k=1}^{n} \left< v , e_{k} \right> e_{k} $$

内積の微分法: $$\left< f, g \right>^{\prime} = \left< f^{\prime}, g \right> + \left< f, g^{\prime} \right>$$

フレネ・セレフレーム $\left\{ T, N, B \right\}$は$\mathbb{R}^{3}$の直交基底だ。上の補助定理を使って直接導出する。

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パート 1. $T^{\prime}(s) = \kappa (s) N(s)$

ノーマルベクトルの定義から、$N(s) = {{ T^{\prime}(s) } \over { \kappa (s) }}$であるため $$ T^{\prime}(s) = \kappa (s) N(s) $$

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パート 2. $N^{\prime}(s) = - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s)$

補助定理によると $$ N^{\prime}(s) = \left< N^{\prime} , T \right> T + \left< N^{\prime} , N \right> N + \left< N^{\prime} , B \right> B $$

• パート 2-1. $\left< N^{\prime} , T \right> = -\kappa$
  • $\left< N, T \right> = 0$であるから、パート1に従って $$ \begin{align*} & 0^{\prime} = \left< N , T \right>^{\prime} = \left< N^{\prime} , T \right> + \left< N , T^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , T \right> = - \left< N , T^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , T \right> = - \left< N , \kappa N \right> = - \kappa \left| N^{2} \right| = - \kappa \cdot 1 \end{align*} $$
• パート 2-2. $\left< N^{\prime} , N \right> = 0$
  • $N$は単位ベクトルであるから、$\left| N^{2} \right| = 1$であり、両辺を微分すると $$ \begin{align*} & 0 = 1^{\prime} = \left< N , N \right>^{\prime} = 2 \left< N , N^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N , N^{\prime} \right> = 0 \end{align*} $$
• パート 2-3. $\left< N^{\prime} , B \right> = \tau$
  • $\left< N, B \right> = 0$であるから、トーションの定義$\tau (s) := - \left< B^{\prime}(s) , N (s) \right>$により $$ \begin{align*} & 0^{\prime} = \left< N , B \right>^{\prime} = \left< N^{\prime} , B \right> + \left< N , B^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , B \right> = - \left< N , B^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , T \right> = \tau \end{align*} $$

これにより、次を得る。 $$ N^{\prime}(s) = - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) $$

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パート 3. $B^{\prime}(s) = - \tau (s) N(s)$

補助定理によると $$ B^{\prime}(s) = \left< B^{\prime} , T \right> T + \left< B^{\prime} , N \right> N + \left< B^{\prime} , B \right> B $$

• パート 3-1. $\left< B^{\prime} , T \right> = 0$
  • $\left< T, B \right> = 0 = \left< N, B \right>$であるから、パート1に従って $$ 0 = \left< T^{\prime}, B \right> + \left< T, B^{\prime} \right> = \kappa \left< N, B \right> + \left< T, B^{\prime} \right> = \left< T, B^{\prime} \right> $$
• パート 3-2. $\left< B^{\prime} , N \right> = -\tau$
  • トーションの定義と内積の対称性により $$ \left< B^{\prime} , N \right> = \left< N , B^{\prime} \right> = - \tau $$
• パート 3-3. $\left< B^{\prime} , B \right> = 0$
  • $\alpha$は単位スピードカーブと仮定しているから、$B = T \times N$も単位ベクトルである。パート2-2と同様に $$ 0 = \left< B^{\prime} , B \right> $$

これにより、次を得る。 $$ B^{\prime}(s) = - \tau (s) N(s) $$

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結論

• ランクレの定理: 単位スピードカーブ$\alpha$がらせんであることは、ある定数$c \in \mathbb{R}$に対して$\tau = c \kappa$であることと等価だ。
• 単位スピードカーブ$\alpha$の曲率が定数$\kappa > 0$で、トーションが$\tau = 0$であることは、$\alpha$が半径$\kappa^{-1}$の円の弧であることと等価だ。
• $\alpha$が直線であることは、$\alpha$の全ての接線がある点$x_{0} \in \mathbb{R}^{3}$を通ることと等価だ。
• $\alpha$を$\kappa \ne 0$の単位スピードカーブとする。

$\alpha$が平面に乗っていることは、全ての接平面が平行であることと等価だ。

• 単位スピードカーブ$\alpha$の全ての法平面がある固定点$\mathbf{x}_{0} \in \mathbb{R}^{3}$を向いている場合、$\alpha$は球面上に乗っている。