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フレネ・セレの公式 📂幾何学

フレネ・セレの公式

式 1

α\alphaがκ(s)≠0\kappa (s) \ne 0の単位スピードカーブだとすると T′(s)=κ(s)N(s)N′(s)=−κ(s)T(s)+τ(s)B(s)B′(s)=−τ(s)N(s) \begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*}

説明

行列の形で表すと次のようになる。 [TNB]′=[0κ0−κ0τ0−τ0][TNB] \begin{bmatrix} T \\ N \\ B \end{bmatrix} ^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ - \kappa & 0 & \tau \\ 0 & - \tau & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T \\ N \\ B \end{bmatrix}

導出

補助定理: nn次元の内積空間VVで、E={e1,⋯ ,en}E = \left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}が直交集合だとすると、EEはVVの基底であり、全てのv∈Vv \in Vに対して v=∑k=1n<v,ek>ek v = \sum_{k=1}^{n} \left< v , e_{k} \right> e_{k}

内積の微分法: <f,g>′=<f′,g>+<f,g′>\left< f, g \right>^{\prime} = \left< f^{\prime}, g \right> + \left< f, g^{\prime} \right>

フレネ・セレフレーム {T,N,B}\left\{ T, N, B \right\}はR3\mathbb{R}^{3}の直交基底だ。上の補助定理を使って直接導出する。

パート 1. T′(s)=κ(s)N(s)T^{\prime}(s) = \kappa (s) N(s)

ノーマルベクトルの定義から、N(s)=T′(s)κ(s)N(s) = {{ T^{\prime}(s) } \over { \kappa (s) }}であるため T′(s)=κ(s)N(s) T^{\prime}(s) = \kappa (s) N(s)

パート 2. N′(s)=−κ(s)T(s)+τ(s)B(s)N^{\prime}(s) = - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s)

補助定理によると N′(s)=<N′,T>T+<N′,N>N+<N′,B>B N^{\prime}(s) = \left< N^{\prime} , T \right> T + \left< N^{\prime} , N \right> N + \left< N^{\prime} , B \right> B

  • パート 2-1. <N′,T>=−κ\left< N^{\prime} , T \right> = -\kappa
    • <N,T>=0\left< N, T \right> = 0であるから、パート1に従って 0′=<N,T>′=<N′,T>+<N,T′>  ⟹  <N′,T>=−<N,T′>  ⟹  <N′,T>=−<N,κN>=−κ∣N2∣=−κ⋅1 \begin{align*} & 0^{\prime} = \left< N , T \right>^{\prime} = \left< N^{\prime} , T \right> + \left< N , T^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , T \right> = - \left< N , T^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , T \right> = - \left< N , \kappa N \right> = - \kappa \left| N^{2} \right| = - \kappa \cdot 1 \end{align*}
  • パート 2-2. <N′,N>=0\left< N^{\prime} , N \right> = 0
    • NNは単位ベクトルであるから、∣N2∣=1\left| N^{2} \right| = 1であり、両辺を微分すると 0=1′=<N,N>′=2<N,N′>  ⟹  <N,N′>=0 \begin{align*} & 0 = 1^{\prime} = \left< N , N \right>^{\prime} = 2 \left< N , N^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N , N^{\prime} \right> = 0 \end{align*}
  • パート 2-3. <N′,B>=τ\left< N^{\prime} , B \right> = \tau
    • <N,B>=0\left< N, B \right> = 0であるから、トーションの定義τ(s):=−<B′(s),N(s)>\tau (s) := - \left< B^{\prime}(s) , N (s) \right>により 0′=<N,B>′=<N′,B>+<N,B′>  ⟹  <N′,B>=−<N,B′>  ⟹  <N′,T>=τ \begin{align*} & 0^{\prime} = \left< N , B \right>^{\prime} = \left< N^{\prime} , B \right> + \left< N , B^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , B \right> = - \left< N , B^{\prime} \right> \\ \implies& \left< N^{\prime} , T \right> = \tau \end{align*}

これにより、次を得る。 N′(s)=−κ(s)T(s)+τ(s)B(s) N^{\prime}(s) = - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s)

パート 3. B′(s)=−τ(s)N(s)B^{\prime}(s) = - \tau (s) N(s)

補助定理によると B′(s)=<B′,T>T+<B′,N>N+<B′,B>B B^{\prime}(s) = \left< B^{\prime} , T \right> T + \left< B^{\prime} , N \right> N + \left< B^{\prime} , B \right> B

  • パート 3-1. <B′,T>=0\left< B^{\prime} , T \right> = 0
    • <T,B>=0=<N,B>\left< T, B \right> = 0 = \left< N, B \right>であるから、パート1に従って 0=<T′,B>+<T,B′>=κ<N,B>+<T,B′>=<T,B′> 0 = \left< T^{\prime}, B \right> + \left< T, B^{\prime} \right> = \kappa \left< N, B \right> + \left< T, B^{\prime} \right> = \left< T, B^{\prime} \right>
  • パート 3-2. <B′,N>=−τ\left< B^{\prime} , N \right> = -\tau
    • トーションの定義と内積の対称性により <B′,N>=<N,B′>=−τ \left< B^{\prime} , N \right> = \left< N , B^{\prime} \right> = - \tau
  • パート 3-3. <B′,B>=0\left< B^{\prime} , B \right> = 0
    • α\alphaは単位スピードカーブと仮定しているから、B=T×NB = T \times Nも単位ベクトルである。パート2-2と同様に 0=<B′,B> 0 = \left< B^{\prime} , B \right>

これにより、次を得る。 B′(s)=−τ(s)N(s) B^{\prime}(s) = - \tau (s) N(s)

■

結論

  • ランクレの定理: 単位スピードカーブα\alphaがらせんであることは、ある定数c∈Rc \in \mathbb{R}に対してτ=cκ\tau = c \kappaであることと等価だ。
  • 単位スピードカーブα\alphaの曲率が定数κ>0\kappa > 0で、トーションがτ=0\tau = 0であることは、α\alphaが半径κ−1\kappa^{-1}の円の弧であることと等価だ。
  • α\alphaが直線であることは、α\alphaの全ての接線がある点x0∈R3x_{0} \in \mathbb{R}^{3}を通ることと等価だ。
  • α\alphaをκ≠0\kappa \ne 0の単位スピードカーブとする。

α\alphaが平面に乗っていることは、全ての接平面が平行であることと等価だ。

  • 単位スピードカーブα\alphaの全ての法平面がある固定点x0∈R3\mathbf{x}_{0} \in \mathbb{R}^{3}を向いている場合、α\alphaは球面上に乗っている。

  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p30. ↩︎