運動量の期待値が常に実数であることを証明
要約
運動量演算子の期待値 $\langle p \rangle$ は常に実数だ。
説明
実際、運動量演算子だけでなく全てのエルミート演算子の固有値は常に実数だ。
証明
運動量の期待値は以下の通りだ。
$$ \displaystyle \langle p \rangle = \int \psi^{\ast} \left( \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right) \psi dx $$
さらに、運動量の期待値の複素共役は以下の通りだ。$ \displaystyle \langle p \rangle ^{\ast}= \int \psi \left( \frac{\hbar}{-i}\frac{\partial}{\partial x} \right) \psi^{\ast} dx$この二つの値を引いて0になれば証明終了。
$$ \begin{align*} \langle p \rangle -\langle p \rangle ^{\ast} &= \frac{\hbar}{i} \int \left( \psi^{\ast} \frac{\partial \psi}{\partial x}+\psi\frac{\partial \psi^{\ast}}{\partial x} \right) dx \\ &= \frac{\hbar}{i} \int \frac{\partial}{\partial x} \left( \psi^{\ast} \psi \right) dx \\ &= \frac{\hbar}{i} \left[ \psi^{\ast}\psi \right] ^{+\infty}_{-\infty} \\ &= 0 \end{align*} $$
最後の等号は波動関数が $\psi (\pm \infty) = 0$ を満たさなければならないため成り立つ。
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