バス拡散モデル：革新と模倣
モデル 1 2
$$ \dot{N} = \left( p + q {{ N } \over { K }} \right) \left( 1 - {{ N } \over { K }} \right) $$
変数
- $N(t)$: $t$時点での集団の個体数を示す。
パラメータ
- $K$: 環境容量carrying capacityとして、集団を収容できる環境の大きさを描写する。個体数は環境容量を超えて成長することができない。
- $p$: イノベーション係数coefficient of Innovationまたは全体成長率global Growth rateとして、集団の大きさに関係なく成長する原動力を描写する。ビジネスでは、新製品の発売に伴う広告効果などがこれにあたる。
- $q$: 模倣係数coefficient of Imitationまたは局所成長率local Growth rateとして、集団の大きさに比例して成長する原動力を描写する。ビジネスでは、口コミや流行などがこれにあたる。 ビジネスの文脈では、集団の個体数は消費者の数である。ほとんどの読者が消費者指向で説明されることを理解しやすいが、実際にはバス拡散モデルはイノベーションで状況が変わり、流行を追うことが有利な現象であればどこにでも適用できる。
説明
- 全体成長: 最初に、新製品であれ新技術であれ、何らかのイノベーション的要素でアピールし、消費者の注目を引き、全体成長率$p$に従って全体的に成長する。特に始めの段階では、消費者がほとんどいないと$N \approx 0$と仮定できる時、バス拡散モデルは$\dot{N} = p$で線形的な傾向を反映する。PRによる成長は、現在どれだけ多くの人々が使用しているかとは無関係であり、イノベーションによる効果が変わることはないと仮定する。
- 局所成長: ユーザー集団が成長を始めると、非ユーザー集団への拡散が起こる。この拡散は集団の大きさに比例し、特に成長の後半には、他人が使用しているのが羨ましくて自分も使用するだけでなく、みんなが使用していることで自然と消費者が生まれることを反映する。
導出
ロジスティック成長モデル: $$ \dot{N} = {{ r } \over { K }} N ( K - N) $$
バス拡散モデルは、実際には一般的に使用される線形ロジスティック成長モデルの完全な一般化である。単純に$\displaystyle r := {{ q } \over { K }}$で置換すると
$$ \begin{align*} & \dot{N} = {{ r } \over { K }} N ( K - N) \\ \implies& \dot{N} = r N \left( 1 - {{ N } \over { K }} \right) \\ \implies& \dot{N} = \left( q {{ N } \over { K }} \right) \left( 1 - {{ N } \over { K }} \right) \end{align*} $$
ここまでは実際には数式的に何も変わっておらず、正確に$p = 0$の場合のバス拡散モデルそのものである。ここで第一項$\displaystyle \left( q {{ N } \over { K }} \right)$を修正しよう。集団が個体数に関係なく最低限の成長率を持つようにするためには、単純にこの項に定数項$p \ne 0$を加えればよい。
$$ \dot{N} = \left( p + q {{ N } \over { K }} \right) \left( 1 - {{ N } \over { K }} \right) $$
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限界
バス拡散モデルの限界は、単発のイノベーションのみを説明することである。現実では、生態系のパノラマを変えるイノベーションが継続的に出現することができるが、バス拡散モデルは既存のトレンドが永遠に王座から降りないことを前提としている。これを克服するための一般化されたモデルが、ノートン-バスモデルnorton-Bass modelであり、継続的にイノベーションが起こることを反映する3。