📂解析学

曲線の導関数が連続であれば、その曲線の長さを測定できる

定理¹

もし$\gamma ^{\prime}$が区間$[a,b]$で連続ならば、$\gamma$は長さを測ることができる曲線であり、以下の式が成り立つ。

$$ \Lambda (\gamma) = \int _{a} ^{b} \left| \gamma^{\prime}(t) \right| dt $$

証明

• Part 1.

$P=\left\{ a=x_{0},\dots,x_{n}=b \right\}$を区間$[a,b]$の任意の分割とする。$a\le x_{i-1}<x_{i}\le b$とすると、以下が成り立つ。

$$ \begin{align*} \left| \gamma (x_{i})-\gamma (x_{i-1}) \right| &= \left| \int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\gamma^{\prime} (t)dt \right| \\ &\le \int_{x_{i-1}}^{x_{i}} \left| \gamma^{\prime} (t) \right|dt \end{align*} $$

最初の行は微分積分学の基本定理2により成立し、二番目の行は絶対値の積分が積分の絶対値よりも大きいため成立する。したがって、次を得る。

$$ \Lambda (P,\gamma) \le \int _{a} ^{b} \left| \gamma^{\prime} (t) \right| dt $$

これは区間$[a,b]$内の全ての区間に対して成立するので、次を得る。

$$ \Lambda (\gamma) \le \int _{a} ^{b} \left| \gamma^{\prime} (t) \right| dt $$

• Part 2.

任意の正数$\varepsilon >0$が与えられたとする。コンパクト距離空間での連続関数は一様連続であるため、$\gamma^{\prime}$は一様連続である。したがって、$\varepsilon$に対して以下の式を満たす正数$\delta >0$が存在する。

$$ \left| s-t \right| < \delta \implies \left| \gamma^{\prime} (s) -\gamma^{\prime} (t) \right| < \varepsilon,\quad s,t\in[a,b] $$

今、$\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}<\delta$を満たす区間$[a,b]$の分割$P=\left\{ x_{0},\dots,x_{n} \right\}$を選んだとする。すると、$x_{i-1}\le t \le x_{i}$に対して以下が成立する。

$$ \begin{align*} &&\left| \gamma^{\prime} (t) \right| -\left| \gamma^{\prime} (x_{i}) \right| &\le \left| \gamma^{\prime} (t)-\gamma^{\prime}(x_{i}) \right| <\varepsilon \\ \implies && \left| \gamma^{\prime} (t) \right| &\le \left| \gamma^{\prime}(x_{i}) \right|+\varepsilon \end{align*} $$

したがって、両辺を積分すると以下の式を得る。

$$ \begin{align*} \int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\left| \gamma^{\prime} (t) \right|dt &\le \int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\left| \gamma^{\prime} (x_{i}) \right|dt +\int_{x_{i-1}}^{x_{i}} \varepsilon dt \\ &= \left| \gamma^{\prime}(x_{i}) \right|\Delta x_{i} + \varepsilon\Delta x_{i} \\ &= \left|\int_{x_{i-1}}^{x_{i}} \gamma^{\prime}(x_{i})dt \right|+\varepsilon\Delta x_{i} \\ &= \left|\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\big( \gamma^{\prime}(t) +\gamma^{\prime} (x_{i})-\gamma^{\prime}(t) \big)dt\right| +\varepsilon\Delta x_{i} \\ &\le \color{green}{\left|\int_{x_{i-1}}^{x_{i}} \gamma^{\prime}(t)dt\right|}+ \color{blue}{\left| \int_{x_{i-1}}^{x_{i}} \gamma^{\prime} (x_{i})-\gamma^{\prime}(t)dt\right|} +\varepsilon\Delta x_{i} \\ &\le \color{green}{\left| \gamma (x_{i})-\gamma (x_{i-1}) \right|} +\color{blue}{\int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\varepsilon dt}+ \varepsilon\Delta x_{i} \\ &= \left| \gamma (x_{i})-\gamma (x_{i-1}) \right| + 2\varepsilon\Delta x_{i} \end{align*} $$

二番目、三番目の行は$\gamma^{\prime}(x_{i})$が定数であるために成立する。五番目の行は三角不等式により成立する。緑の部分は微分積分学の基本定理2により成立する。青い部分は一様連続であるという条件により成立する。$\varepsilon$は任意の正数であるため、次が成立する。

$$ \int_{x_{i-1}}^{x_{i}}\left| \gamma^{\prime} (t) \right|dt \le \left| \gamma (x_{i})-\gamma (x_{i-1}) \right| $$

それぞれの$\Delta x_{i}$に対して上記の不等式を足すと、以下の式を得る。

$$ \int _{a} ^{b} \left| \gamma^{\prime} (t) \right| dt \le \sum \limits _{i=1} ^{n} \left|\gamma (x_{i})-\gamma (x_{i-1}) \right|=\Lambda (P,\gamma)\le \Lambda (\gamma) $$

したがって、Part 1.、**Part 2.**により、次が成立する。

$$ \Lambda (\gamma) = \int _{a} ^{b} \left| \gamma^{\prime}(t) \right| dt $$

■