局所積分可能な関数
定義
$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合と呼ぶ。
定義11
すべての有界な可測集合 $K \subset \Omega$に対して、
$$ \int_{K} \left| u(x) \right| dx \lt \infty $$
を満たす関数 $u : \Omega \to \mathbb{C}$を(ルベーグ測度において)局所的に積分可能であると言う。
定義22
関数$u$が$\Omega$上のほぼ至る所で定義された関数だとする。全ての開集合$U \Subset \Omega$に対して$u \in L^{1}(U)$の時、$u$を$\Omega$上で局所的に積分可能であると言う。
表記
局所的に積分可能な関数の集合を次のように表す。
$$ L_{\text{loc}}^{1}(\Omega) := \left\{ u : \Omega \to \mathbb{C} \Big| u \text{ is locally integrable.}\right\} $$
説明
定義により、以下の包含関係が自明に成立する。
$$ \href{../592}{L^{1}(\Omega)} \subset L_{\text{loc}}^{1}(\Omega) $$
$$ \href{../1594}{C(\Omega)} \subset L_{\text{loc}}^{1}(\Omega) $$