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局所積分可能な関数 📂ルベーグ空間

局所積分可能な関数

定義

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合と呼ぶ。

定義11

すべての有界な可測集合 $K \subset \Omega$に対して、

$$ \int_{K} \left| u(x) \right| dx \lt \infty $$

を満たす関数 $u : \Omega \to \mathbb{C}$を(ルベーグ測度において)局所的に積分可能であると言う。

定義22

関数$u$が$\Omega$上のほぼ至る所で定義された関数だとする。全ての開集合$U \Subset \Omega$に対して$u \in L^{1}(U)$の時、$u$を$\Omega$上で局所的に積分可能であると言う。

表記

局所的に積分可能な関数の集合を次のように表す。

$$ L_{\text{loc}}^{1}(\Omega) := \left\{ u : \Omega \to \mathbb{C} \Big| u \text{ is locally integrable.}\right\} $$

説明

定義により、以下の包含関係が自明に成立する。

$$ \href{../592}{L^{1}(\Omega)} \subset L_{\text{loc}}^{1}(\Omega) $$

$$ \href{../1594}{C(\Omega)} \subset L_{\text{loc}}^{1}(\Omega) $$

性質


  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p95 ↩︎

  2. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p20 ↩︎