📂ルベーグ空間

局所積分可能な関数

定義

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合と呼ぶ。

定義１¹

すべての有界な可測集合 $K \subset \Omega$に対して、

$$\int_{K} \left| u(x) \right| dx \lt \infty$$

を満たす関数 $u : \Omega \to \mathbb{C}$を（ルベーグ測度において）局所的に積分可能であると言う。

定義２²

関数$u$が$\Omega$上のほぼ至る所で定義された関数だとする。全ての開集合$U \Subset \Omega$に対して$u \in L^{1}(U)$の時、$u$を$\Omega$上で局所的に積分可能であると言う。

表記

局所的に積分可能な関数の集合を次のように表す。

$$L_{\text{loc}}^{1}(\Omega) := \left\{ u : \Omega \to \mathbb{C} \Big| u \text{ is locally integrable.}\right\}$$

説明

定義により、以下の包含関係が自明に成立する。

$$\href{../592}{L^{1}(\Omega)} \subset L_{\text{loc}}^{1}(\Omega)$$

$$\href{../1594}{C(\Omega)} \subset L_{\text{loc}}^{1}(\Omega)$$

性質

• 局所的に積分可能な関数は超関数への拡張が可能である。