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マルチレゾリューション分析スケーリング方程式 📂フーリエ解析

マルチレゾリューション分析スケーリング方程式

定理

関数 ϕ∈L2(R)\phi \in L^{2}(\mathbb{R})がmultiresolution analysisを生成するとする。すると以下の式を満たす周期が11の関数H0∈L2(0,1)H_{0}\in L^{2}(0,1)が存在する。

ϕ^(2γ)=H0(γ)ϕ^(γ),γ∈R \begin{equation} \hat{\phi}(2\gamma) = H_{0}(\gamma)\hat{\phi}(\gamma),\quad \gamma \in \mathbb{R} \label{eq1} \end{equation}

これはscaling equationと呼ばれる。ここでϕ^(γ)\hat{\phi}(\gamma)はϕ\phiのFourier変換だ。

説明

式(eq1)\eqref{eq1}はrefinement equationとも呼ばれる。さらに上の定理を満たす関数ϕ\phiをscaling functionと呼んだり、あるいはϕ\phiがrefinableだという。

L2(R)L^{2}(\mathbb{R})の閉部分空間の数列{Vj}j∈Z\left\{V_{j}\right\}_{j \in \mathbb{Z}}と関数ϕ∈V0\phi \in V_{0}が以下の条件を満たす場合、({Vj},ϕ)\left( \left\{ V_{j} \right\}, \phi \right)をmultiresolution analysisという。

(a) 各VjV_{j}に対して⋯V−1⊂V0⊂V1⋯\cdots V_{-1} \subset V_{0} \subset V_{1}\cdotsが成り立つ。

(b) ∪j∈ZVj‾=L2(R)\overline{\cup_{j\in\mathbb{Z}}V_{j}}=L^{2}(\mathbb{R})であり、∩j∈ZVj={0}\cap_{j\in\mathbb{Z}}V_{j}=\left\{ 0\right\}である。

(c) ∀j∈Z\forall j\in \mathbb{Z}、Vj+1=D(Vj)V_{j+1}=D(V_{j})である。

(d) ∀k∈Z\forall k \in \mathbb{Z}、f∈V0f \in V_{0}のときTkf∈V0T_{k}f \in V_{0}である。

(e) {Tkϕ}k∈Z\left\{ T_{k} \phi\right\}_{k\in \mathbb{Z}}がV0V_{0}の正規直交基底である。

({Vj},ϕ)(\left\{ V_{j} \right\},\phi)がmultiresolution analysisの場合、ϕ\phiがmultiresolution analysisを生成すると言う。TkT_{k}はtranslation、DDはdilationである。

証明

ϕ\phiがmultiresolution analysisを生成すると仮定して、**(e)により{Tkϕ}k∈Z\left\{ T_{k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}}はV0V_{0}の正規直交基底である。k=0k=0の時を考えると、ϕ∈V0\phi \in V_{0}である。だが（a）によりV0⊂V1V_{0}\subset V_{1}であるため、ϕ∈V1\phi \in V_{1}である。さらに（c）**によりV1=D(V0)V_{1}=D(V_{0})であるから、

D−1ϕ∈V0 D^{-1}\phi \in V_{0}

である。V0V_{0}はvector spaceなのでスカラ倍に対して閉じている。したがって

12D−1ϕ∈V0 \frac{1}{\sqrt{2}}D^{-1}\phi \in V_{0}

だが、{T−kϕ}k∈Z\left\{ T_{-k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}}がV0V_{0}の正規直交基底だったので係数{ck}\left\{ c_{k} \right\}が存在し、下記のように表せる。

12D−1ϕ=∑k∈ZckT−kϕ \begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2}}D^{-1}\phi = \sum _{k\in \mathbb{Z}} c_{k}T_{-k}\phi \label{eq2} \end{equation}

補助定理

ノルム空間VV上の有界線形作用素TTが与えられたとする。{vk}k=1∞\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}はVVの元の数列である。ある定数{ck}k=1∞\left\{ c_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}に対して∑k=1∞ckvk\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{v}_{k}が収束すれば T∑k=1∞ckvk=∑k=1∞ckTvk T\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{v}_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}T\mathbf{v}_{k} が成立する。

今(eq2)\eqref{eq2}の両辺にFourier変換を適用しよう。すると上の補助定理により

12FD−1ϕ=F∑k∈ZckT−kϕ=∑k∈ZckFT−kϕ \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2}}\mathcal{F}D^{-1}\phi&= \mathcal{F}\sum _{k\in \mathbb{Z}} c_{k}T _{-k}\phi \\ &= \sum _{k\in \mathbb{Z}} c_{k}\mathcal{F}T _{-k}\phi \end{align*}

この時FD−1=DF\mathcal{F}D^{-1}=D\mathcal{F}であり、FT−k=EkF\mathcal{F}T_{-k}=E_{k}\mathcal{F}であるため、

12Dϕ^(γ)=∑k∈ZckEkϕ^(γ) \frac{1}{\sqrt{2}}D \hat{\phi}(\gamma) = \sum _{k\in \mathbb{Z}}c_{k}E_{k}\hat{\phi}(\gamma)

今、dilationとmodulationを適用すれば

ϕ^(2γ)=∑k∈Zcke2πikγϕ^(γ) \hat{\phi}(2\gamma) =\sum _{k \in \mathbb{Z}}c_{k}e^{2\pi i k \gamma}\hat{\phi}(\gamma)

ここでH0(γ):=∑k∈Zcke2πikγH_{0}(\gamma) := \sum \limits_{k \in \mathbb{Z}}c_{k}e^{2\pi i k \gamma}を定義すれば周期が11の関数となる。したがって

ϕ^(2γ)=H0(γ)ϕ^(γ),γ∈R \hat{\phi}(2\gamma) = H_{0}(\gamma)\hat{\phi}(\gamma),\quad \gamma \in \mathbb{R}

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