マルチレゾリューション分析スケーリング方程式
定理
関数 $\phi \in L^{2}(\mathbb{R})$ が マルチレゾリューション解析 を生成するとしよう. すると下の式を満たす周期が $1$ の関数 $H_{0}\in L^{2}(0,1)$ が存在する。
$$ \begin{equation} \hat{\phi}(2\gamma) = H_{0}(\gamma)\hat{\phi}(\gamma),\quad \gamma \in \mathbb{R} \label{eq1} \end{equation} $$
これを スケーリング方程式スケーリング方程式 と呼ぶ. ここで $\hat{\phi}(\gamma)$ は $\phi$ の フーリエ変換 である。
解説
式 $(1)$ は 細分方程式リファインメント方程式 とも呼ばれる. また上の定理を満たす関数 $\phi$ を スケーリング関数スケーリング関数 と呼ぶか、あるいは $\phi$ が 細分可能refinable であるという。
$L^{2}(\mathbb{R})$ の閉部分空間の列 $\left\{V_{j}\right\}_{j \in \mathbb{Z}}$ と関数 $\phi \in V_{0}$ が以下の条件を満たすならば $\left( \left\{ V_{j} \right\}, \phi \right)$ を マルチレゾリューション解析multiresolution analysis と呼ぶ。
(a) 各 $V_{j}$ に対して $\cdots V_{-1} \subset V_{0} \subset V_{1}\cdots$ が成り立つ。
(b) $\overline{\cup_{j\in\mathbb{Z}}V_{j}}=L^{2}(\mathbb{R})$ かつ $\cap_{j\in\mathbb{Z}}V_{j}=\left\{ 0\right\}$ である。
(c) $\forall j\in \mathbb{Z}$、$V_{j+1}=D(V_{j})$ である。
(d) $\forall k \in \mathbb{Z}$、$f \in V_{0}$ ならば $T_{k}f \in V_{0}$ である。
(e) $\left\{ T_{k} \phi\right\}_{k\in \mathbb{Z}}$ は $V_{0}$ の正規直交基底である。
$(\left\{ V_{j} \right\},\phi)$ がマルチレゾリューション解析であれば、$\phi$ はマルチレゾリューション解析を 生成するgenerate と言う。 $T_{k}$ は 並進、$D$ は 拡大縮小 である。
証明
$\phi$ がマルチレゾリューション解析を生成すると仮定したので (e) により $\left\{ T_{k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}}$ は $V_{0}$ の正規直交基底である。$k=0$ の場合を考えると、$\phi \in V_{0}$ である。ところが (a) により $V_{0}\subset V_{1}$ なので、$\phi \in V_{1}$ である。また (c) によって $V_{1}=D(V_{0})$ であるため、
$$ D^{-1}\phi \in V_{0} $$
である。$V_{0}$ は ベクトル空間 であるから定数倍に対して閉じている。したがって
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}D^{-1}\phi \in V_{0} $$
ところで $\left\{ T_{-k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}}$ が $V_{0}$ の正規直交基底であったので係数 $\left\{ c_{k} \right\}$ が存在して以下のように表せる。
$$ \begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2}}D^{-1}\phi = \sum _{k\in \mathbb{Z}} c_{k}T_{-k}\phi \label{eq2} \end{equation} $$
補題
ノルム空間 $V$ 上の有界線形作用素 $T$ が与えられたとする。 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$ は $V$ の元の列である。ある定数 $\left\{ c_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$ に対して $\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{v}_{k}$ が収束すれば $$ T\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{v}_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}T\mathbf{v}_{k} $$ が成り立つ。
さて $(2)$ の両辺に フーリエ変換 を適用すると、上の補題により
$$ \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2}}\mathcal{F}D^{-1}\phi&= \mathcal{F}\sum _{k\in \mathbb{Z}} c_{k}T _{-k}\phi \\ &= \sum _{k\in \mathbb{Z}} c_{k}\mathcal{F}T _{-k}\phi \end{align*} $$
このとき $\mathcal{F}D^{-1}=D\mathcal{F}$ かつ $\mathcal{F}T_{-k}=E_{k}\mathcal{F}$ であるので、
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}D \hat{\phi}(\gamma) = \sum _{k\in \mathbb{Z}}c_{k}E_{k}\hat{\phi}(\gamma) $$
$$ \hat{\phi}(2\gamma) =\sum _{k \in \mathbb{Z}}c_{k}e^{2\pi i k \gamma}\hat{\phi}(\gamma) $$
ここで $H_{0}(\gamma) := \sum \limits_{k \in \mathbb{Z}}c_{k}e^{2\pi i k \gamma}$ と定義すれば周期が $1$ の関数になる。したがって
$$ \hat{\phi}(2\gamma) = H_{0}(\gamma)\hat{\phi}(\gamma),\quad \gamma \in \mathbb{R} $$
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