分布の収束は確率の境界を意味する
📂数理統計学分布の収束は確率の境界を意味する
定理
確率変数のシーケンス {Xn} が分布収束する場合、確率的に有界である。
- →D は分布収束を意味する。
説明
ほぼ確実に収束するならば分布収束することを示したので、この逆命題を考えると、「確率的に有界ではない場合、ほぼ確実に収束しない」という常識的な結論も得られる。
証明
ϵ>0 が与えられ、Xn が確率変数X に分布収束し、その累積分布関数がFX であるとする。すると、x≤η1 からFX(x)<2ϵ であり、x≥η2 からFX(x)>1−2ϵ を満たすη1,η2 を見つけることができる。今、
P[∣X∣≤η]=≥=FX(η)−FX(−η)(1−2ϵ)−2ϵ1−ϵ
今度は分布収束するXn についてX を考え、n→∞lim を両辺に採用すると(つまり十分に大きなNϵ を継続的に選ぶことから)、分布収束の仮定から
n→∞limP[∣Xn∣≤η]==≥n→∞limFXn(η)−n→∞limFXn(−η)FX(η)−FX(−η)1−ϵ
確率的に有界の定義により、{Xn} は確率的に有界である。
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