分布の収束は確率の境界を意味する
定理
確率変数のシーケンス $\left\{ X_{n} \right\}$ が分布収束する場合、確率的に有界である。
- $\overset{D}{\to}$ は分布収束を意味する。
説明
ほぼ確実に収束するならば分布収束することを示したので、この逆命題を考えると、「確率的に有界ではない場合、ほぼ確実に収束しない」という常識的な結論も得られる。
証明
$\epsilon>0$ が与えられ、$X_{n}$ が確率変数$X$ に分布収束し、その累積分布関数が$F_{X}$ であるとする。すると、$\displaystyle x \le \eta_{1}$ から$\displaystyle F_{X}(x) < {\epsilon \over 2}$ であり、$\displaystyle x \ge \eta_{2}$ から$\displaystyle F_{X}(x) > 1- {\epsilon \over 2}$ を満たす$\eta_{1}, \eta_{2}$ を見つけることができる。今、 $$ \begin{align*} P[|X|\le \eta] =& F_X (\eta) - F_X (-\eta) \\ \ge& \left( 1 - {\epsilon \over 2} \right) - {\epsilon \over 2} \\ =& 1- \epsilon \end{align*} $$ 今度は分布収束する$X_{n}$ について$X$ を考え、$\displaystyle \lim_{n \to \infty}$ を両辺に採用すると（つまり十分に大きな$N_{\epsilon}$ を継続的に選ぶことから）、分布収束の仮定から $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} P[|X_{n}|\le \eta] =& \lim_{n \to \infty} F_{X_{n}} (\eta) - \lim_{n \to \infty} F_{X_{n}} (-\eta) \\ =& F_X (\eta) - F_X (-\eta) \\ \ge& 1 - \epsilon \end{align*} $$ 確率的に有界の定義により、$\left\{ X_{n} \right\}$ は確率的に有界である。
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