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分布の収束は確率の境界を意味する 📂数理統計学

分布の収束は確率の境界を意味する

定理

確率変数シーケンス {Xn}\left\{ X_{n} \right\}分布収束する場合、確率的に有界である。


説明

ほぼ確実に収束するならば分布収束することを示したので、この逆命題を考えると、「確率的に有界ではない場合、ほぼ確実に収束しない」という常識的な結論も得られる。

証明

ϵ>0\epsilon>0 が与えられ、XnX_{n} が確率変数XX に分布収束し、その累積分布関数がFXF_{X} であるとする。すると、xη1\displaystyle x \le \eta_{1} からFX(x)<ϵ2\displaystyle F_{X}(x) < {\epsilon \over 2} であり、xη2\displaystyle x \ge \eta_{2} からFX(x)>1ϵ2\displaystyle F_{X}(x) > 1- {\epsilon \over 2} を満たすη1,η2\eta_{1}, \eta_{2} を見つけることができる。今、 P[Xη]=FX(η)FX(η)(1ϵ2)ϵ2=1ϵ \begin{align*} P[|X|\le \eta] =& F_X (\eta) - F_X (-\eta) \\ \ge& \left( 1 - {\epsilon \over 2} \right) - {\epsilon \over 2} \\ =& 1- \epsilon \end{align*} 今度は分布収束するXnX_{n} についてXX を考え、limn\displaystyle \lim_{n \to \infty} を両辺に採用すると(つまり十分に大きなNϵN_{\epsilon} を継続的に選ぶことから)、分布収束の仮定から limnP[Xnη]=limnFXn(η)limnFXn(η)=FX(η)FX(η)1ϵ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} P[|X_{n}|\le \eta] =& \lim_{n \to \infty} F_{X_{n}} (\eta) - \lim_{n \to \infty} F_{X_{n}} (-\eta) \\ =& F_X (\eta) - F_X (-\eta) \\ \ge& 1 - \epsilon \end{align*} 確率的に有界の定義により、{Xn}\left\{ X_{n} \right\} は確率的に有界である。