距離空間における関数の極限
📂距離空間距離空間における関数の極限
定義
(X,dX), (Y,dY) を距離空間としよう。E⊂Xで、f:E→Yで、pがEの集積点としよう。すると、すべての正の数εに対して
x∈E and dX(x,p)<δ⟹dY(f(x),q)<ε
を満たすδ>0が存在するとき、
f(x)→q as x→p
あるいは
x→plimf(x)=q
と表現し、fはpにおいて極限qを持つという。
説明
今、イプシロン-デルタ論法を学んだので、距離空間における関数の極限を上記のように厳密に定義することができる。ここで重要なのは、この定義によってp∈Xがp∈Eである必要はないということだ。だから、あるp∈Eに対して
f(p)=x→plimf(x)
が成り立つかもしれない。
定理
X、Y、E、f、pが定義で説明した通りであるとしよう。すると、以下の二つの命題は等価である。
(a)
x→plimf(x)=q
(b)
n→∞limpn=pであるすべてのEの数列{pn}に対して
n→∞limf(pn)=q
(b)を解くと、「pに収束するすべての数列{pn}に対して、数列{f(pn)}がqに収束する」という意味である。
証明
(a) ⟹ から(b)
**(a)**が成り立つと仮定してみよう。そして、n→∞limpn=pである任意の数列{pn}を一つ選ぶ。そして、任意の正の数ε>0が与えられたとする。すると、仮定により、
x∈EanddX(x,p)<δ⟹dY(f(x),q)<ε
を満たすようなある正の数δが存在する。また、{pn}はpに収束する数列なので、前で得られた正の数δに対して
n≥N⟹dX(pn,p)<δ
を満たす正の数Nが存在する。したがって、(eq1)と(eq2)により、次のことが成り立つ。
n≥N⟹dX(pn,p)<δ⟹dY(f(pn),q)<ε
これは数列{f(pn)}がqに収束する条件なので、
n→∞limf(pn)=q
■
証明に入る前に、以下の証明は少し複雑だ。対偶法によって「(b)ならば(a)」が真であることは、「**(a)でないならば(b)**でもない」も真であることと同じであるので、「x→plimf(x)=qが成り立たないならば、pに収束するいくつかの数列{pn}に対して、数列{f(pn)}がqに収束しない」ということを示そうと思う。
(a) ⟸ から(b)
**(a)**が成り立たないとする。すると、定義により、あるεに対して、
x∈EanddX(x,p)<δ⟹dY(f(x),q)≥ε
が成り立つ正の数δが存在する。そして、pに収束するある数列{pn}を考えてみよう。それから、
n≥N⟹dX(pn,p)<δ
を満たすような十分に大きな正の数Nが存在する。だから、(eq3)、(eq4)により、あるεに対して、
n≥N⟹dX(pn,p)<δ⟹dY(f(pn),q)≥ε
が成り立たないので、数列{f(pn)}はqに収束しない。
■
系
fがpにおける極限を持つ場合、その極限は唯一である。
距離空間で収束する数列の性質と上の定理から導かれる。