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日、仕事-エネルギーの定理 📂古典力学

日、仕事-エネルギーの定理

定義

F\mathbf{F}が物体に作用して、その物体が力と同じ方向にssだけ移動したとき、力の大きさと移動距離の積 W=FsW=Fsを力 F\mathbf{F}が物体にした仕事workという。

説明

移動距離-力のグラフでは、グラフの下の面積が仕事の量と同じだ。移動方向と力の方向が同じでなければならないからには、以下のように二つのベクターの内積として表現できる。

W=Fs=Fscosθ W= \mathbf{F} \cdot \mathbf{s}=Fs\cos \theta

上記のように、移動距離-力のグラフの面積と同じと言ったからには、以下のように表現できる。

W=s0sFds W=\int _{s_{0}}^{s} Fds

移動方向と力の方向が同じ場合にのみ仕事をしたと仮定するのは、直感的に考えれば簡単に理解できる。以下の図を見てみよう。

dlf.png

上の図はAABBがそれぞれ矢印の方向に物体を押している状況だ。この時物体が緑色の矢印の方向に動いたならば、我々はBBは物体を動かすことに関与していないと考える。AA単独で物体を移動させたのだ。だから、力が物体にした仕事を計算する場合、力と移動方向が同じ場合のみを考える。もし移動方向と力の方向が正反対の場合は、力が物体に負の仕事をしたとする。例えば下の図のように、移動する物体を止めるために、移動方向と反対に力を加える場合を考えることができる。

dlf2.png

仕事-運動エネルギーの定理1

合力が物体にした仕事は、その物体の運動エネルギーの変化量と同じだ。

W=ΔT W=\Delta T

証明

運動エネルギーの定義によれば F(x)=dTdxF(x)=\frac{dT}{dx}なので、以下のようになる。

W=x0xFdx=x0xdT=TT0=ΔT W=\int_{x_{0}}^{x}Fdx=\int_{x_{0}}^{x}dT=T-T_{0}=\Delta T


  1. Grant R. Fowles and George L. Cassiday, Analytical Mechanics (7th Edition, 2005), p63 ↩︎