📂古典力学

日、仕事-エネルギーの定理

定義

力 $\mathbf{F}$が物体を点 $\mathbf{a}$から $\mathbf{b}$まで経路 $C$に沿って移動させるとき、以下のような線積分をその力がした仕事^workと呼ぶ。

$$ W = \int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \tag{1} $$

説明

上の積分は移動距離−力のグラフを描いたとき、グラフの面積に等しい。内積として定義される理由は、実際に物体が移動した方向に寄与した力のみを数えるためである。もし力が一定（大きさと向きが変わらない）で、物体が直線運動するなら$(1)$は簡単に以下のようになる。変位ベクトル $\mathbf{s} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$に対して、

$$ W= \mathbf{F} \cdot \mathbf{s} $$

単位

SI単位系における仕事の単位はエネルギーと同じジュール^jouleである。

$$ 1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N} \cdot \mathrm{m} = 1\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}^{2} $$

ちなみにジュールの単位記号は人名に由来するため大文字の $\mathrm{J}$ と書くが、単位としてのジュールを表記する場合は joule のように小文字で書く。

仕事−運動エネルギー定理¹

合力が物体にした仕事は運動エネルギーの変化量に等しい。

$$ W=\Delta T $$

証明

実は証明とは言えない。仕事の定義から次の式が導かれ、これから運動エネルギーを定義したものである。

$$ W_{\mathbf{a}\mathbf{b}} = \int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \dfrac{1}{2} m v_{\mathbf{b}}^{2} - \dfrac{1}{2} m v_{\mathbf{a}}^{2} $$

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