エルミート多項式の生成関数
公式
$$ \Phi (x,t)=\sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(x)}{n!}t^{n}= e^{2xt-t^{2}} $$
説明
エルミート多項式の生成関数とは、簡単に言えば、エルミート多項式を係数とする多項式のことだ。
$H_{n}(x)$はエルミート多項式であり、エルミート関数 $y_{n}=e^{\frac{x^{2}}{2}}\frac{ \d ^{n} }{ \d x^{n} }e^{-x^{2}}$と$(-1)^{n}e^{\frac{x^{2}}{2}}$を掛け合わせて得るか、エルミート微分方程式を解いて得ることができる。
$$ H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{ \d ^{n}}{ \d x^{n} }e^{-x^{2}} $$
導出
$f(x)=e^{-x^{2}}$としよう。すると、
$$ f^{(n)}(x)=\frac{ \d ^{n}}{ \d x^{n} }e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{-x^{2}}H_{n}(x) \tag{1} $$
そしてテイラー級数によって、
$$ f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$
ここで、$x-a=t$、$a=y$に置換すると、
$$ f(y+t) = \sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(y)}{n!}t^{n} $$
再び、$y$を$x$とし、ここに$(1)$を代入すると、
$$ f(x+t)=\sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(y)}{n!}t^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}e^{-x^{2}}\frac{t^{n}}{n!}H_{n}(x) $$
今、$t$の代わりに$-t$を代入すると、
$$ \begin{align*} f(x-t) &=\sum \limits _{n=0}^{\infty}e^{-x^{2}}\frac{t^{n}}{n!}H_{n}(x) \\ &= e^{-(x-t)^{2}}=e^{-x^{2}+2xt-t^{2}} \end{align*} $$
整理すると、
$$ e^{-x^{2}+2xt-t^{2}} = \sum \limits _{n=0}^{\infty}e^{-x^{2}}H_{n}(x)\frac{t^{n}}{n!} $$
今、両辺に$e^{x^{2}}$を掛ければ、求める式を得る。
$$ e^{2xt-t^{2}} = \sum \limits _{n=0}^{\infty}H_{n}(x)\frac{t^{n}}{n!} $$
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結論
また、エルミート多項式の生成関数は、下記の微分方程式を満足する。
$$ \frac{ \partial^{2} \Phi}{ \partial x^{2}}-2x\frac{ \partial \Phi}{ \partial x}+2t\frac{ \partial \Phi}{ \partial t }=0 $$
証明
$\Phi (x,t)=e^{2xt-t^{2}}$を代入すると、
$$ \begin{align*} &\frac{ \partial^{2} \Phi}{ \partial x^{2}}-2x\frac{ \partial \Phi}{ \partial x}+2t\frac{ \partial \Phi}{ \partial t } \\ &= 4t^{2}e^{2xt-t^{2}}-4xte^{2xt-t^{2}}+2t(2x-2t)e^{2xt-t^{2}} \\ &=0 \end{align*} $$
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