📂関数

ベッセル関数の再帰関係

定理

$$J_{\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2} \right)^{2n+\nu} \tag{1}$$

上の関数は、階数$\nu$の第一種ベッセル関数と呼ばれる。第一種ベッセル関数$J_{\nu}(x)$は、下記の方程式を満足する。

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{\nu} J_{\nu}(x)] &= x^{\nu}J_{\nu-1}(x) \tag{a} \\ \frac{d}{dx}[x^{-\nu}J_{\nu}(x)] &= -x^{-\nu}J_{\nu+1}(x) \tag{b} \\ J_{\nu-1}(x)+J_{\nu+1}(x) &= \frac{2\nu}{x}J_{\nu}(x) \tag{c} \\ J_{\nu-1}(x)-J_{\nu+1}(x) &= 2J^{\prime}_{\nu}(x) \tag{d} \\ J_{\nu}^{\prime}(x) = -\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)+J_{\nu-1}(x) &= \frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)-J_{\nu+1}(x) \tag{e} \end{align*}$$

証明

$(a)$

$(1)$に$x^{\nu}$を掛けた後、微分すると簡単に得られる。

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{\nu} J_{\nu}(x)] &= \frac{d}{dx} \left[ x^{\nu} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2} \right)^{2n+\nu} \right) \\ &= \frac{d}{dx} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \frac{x^{2n+2\nu}}{2^{2n+\nu}} \\ &= \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2n+2\nu)}{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \frac{x^{2n+2\nu-1}}{2^{2n+\nu}} \tag{2} \end{align*}$$

ガンマ関数は関係式$\Gamma (n+\nu+1)=(n+\nu)\Gamma (n+\nu)$を満足するため、$(2)$の分母の$2(n+\nu)$を約分すると

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{\nu} J_{\nu}(x)] &= \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu)} \frac{x^{2n+2\nu-1}}{2^{2n+\nu-1}} \\ &= x^{\nu}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu)} \frac{x^{2n+\nu-1}}{2^{2n+\nu-1}} \\ &= x^{\nu}J_{\nu-1}(x) \end{align*}$$

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$(b)$

証明方法の大枠は$(a)$と同じだが、見落としやすい部分があるため、省略せずに説明する。$(1)$に$x^{-\nu}$を掛けたうえで、$(a)$のように微分すると

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{-\nu} J_{\nu}(x)] &= \frac{d}{dx}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \frac{x^{2n}}{2^{2n+\nu}} \\ &= \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}2n }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \frac{x^{2n-1}}{2^{2n+\nu}} \end{align*}$$

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)$なので、分母の$2n$を約分し、$\frac{x}{2}$の次数を合わせると

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{-\nu} J_{\nu}(x)] &= x^{-\nu}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n) \Gamma (n+\nu+1)} \frac{x^{2n+\nu-1}}{2^{2n+\nu-1}} \end{align*}$$

ここで、インデックスを$n=k+1$に置き換える。すると

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{-\nu} J_{\nu}(x)] &= x^{-\nu}\sum \limits_{k=-1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} }{\Gamma (k+1) \Gamma (k+\nu+2)} \frac{x^{2k+\nu+1}}{2^{2k+\nu+1}} \end{align*}$$

$k=-1$の場合、分母が$\Gamma (k+1)=\Gamma (0)=\infty$に発散するため、$0$である。従って、インデックスが$k=0$から始まっても問題ない。

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{-\nu} J_{\nu}(x)] &= x^{-\nu}\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} }{\Gamma (k+1) \Gamma (k+\nu+2)} \frac{x^{2k+\nu+1}}{2^{2k+\nu+1}} \\ &= -x^{-\nu}J_{\nu+1}(x) \end{align*}$$

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$(c)$, $(d)$

$(a)$を$J_{\nu-1}(x)$について整理し、$(b)$を$J_{\nu+1}(x)$について整理した後、加えて引くと直ちに得られる。

$$\begin{align*} J_{\nu-1}(x) &= x^{-\nu} \frac{d}{dx}\left[x^{\nu} J_{\nu}(x)\right] \\ &= x^{-\nu} \nu x^{\nu-1}J_{\nu}(x)+x^{-\nu}x^{\nu}J_{\nu}^{\prime}(x) \\ &= \nu x^{-1}J_{\nu}(x) + J_{\nu}^{\prime}(x) \end{align*} \tag{3}$$

$$\begin{align*} J_{\nu+1}(x) &= -x^{\nu} \frac{d}{dx}\left[x^{-\nu} J_{\nu}(x) \right] \\ &= -x^{\nu}(-\nu) x^{-\nu-1}J_{\nu}(x)-x^{\nu}x^{-\nu}J_{\nu}^{\prime}(x) \\ &= \nu x^{-1}J_{\nu}(x) - J_{\nu}^{\prime}(x) \end{align*} \tag{4}$$

$(3)+(4)$を計算すると

$$J_{\nu-1}+J_{\nu+1}(x)=\frac{2\nu}{x}J_{\nu}(x)$$

$(3)-(4)$を計算すると

$$J_{\nu-1}-J_{\nu+1}(x)=2J_{\nu}^{\prime}(x)$$

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$(e)$

$(a)$と$(b)$の左辺を展開して整理すると簡単に得ることができる。まずは$(a)$の左辺を展開し、$J_{\nu}^{\prime}(x)$について整理すると

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{\nu} J_{\nu}(x)] &=x^{\nu}J_{\nu-1}(x) \\ \nu x^{\nu-1}J_{\nu}(x) + x^{\nu} J_{\nu}^{\prime}(x) &= x^{\nu}J_{\nu-1}(x) \\ J_{\nu}^{\prime}(x) &= -\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)+J_{\nu-1}(x) \end{align*}$$

$(b)$に対しても同じ作業をすると

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{-\nu} J_{\nu}(x)] &=-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x) \\ -\nu x^{-\nu-1}J_{\nu}(x) + x^{-\nu} J_{\nu}^{\prime}(x) &=-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x) \\ J_{\nu}^{\prime}(x) &= \frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)-J_{\nu+1}(x) \end{align*}$$

従って

$$J_{\nu}^{\prime}(x)=-\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)+J_{\nu-1}(x)=\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)-J_{\nu+1}(x)$$

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