📂偏微分方程式

球面座標系ラプラス方程式における径成分方程式の一般解

定理

球面座標系ラプラス方程式での径成分方程式の一般解は以下の通りだ。

$$R(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}R_{l}(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}\left( A_{l}r^{l}+\frac{ B_{l}}{r^{l+1}} \right)$$

この時、$l$は非負の整数であり、$A_{l}$、$B_{l}$は定数である。

説明

極角、方位角に対する解よりも求める過程が比較的簡単である。

証明

球面座標系ラプラス方程式で、極角$\theta$と方位角$\phi$に対する解を球面調和関数と言う。球面調和関数を求める過程で径成分に対する方程式を以下のように得る。

$$\frac{1}{R}\frac{ d }{ dr }\left( r^{2}\frac{ d R}{ dr } \right)=l(l+1)$$

この時、$l$は非負の整数である。この式を再度整理すると以下の通りである。

$$r^{2}\frac{ d^{2} R}{ dr^{2} }+2r\frac{ d R}{ dr }-l(l+1)R=0$$

このような形の微分方程式をオイラー微分方程式と言う。オイラー微分方程式の解は$R(r)=r^{k}$の形であることがよく知られている。代入してみると次を得る。

$$\begin{align*} && k(k-1)r^{k}+2kr^{k}-l(l+1)r^{k}=0 \\ \implies && [k^{2}+k-l(l+1)]r^{k}=0 \\ \implies && k^{2}+k-l(l+1)=0 \end{align*}$$

これは単純な2次方程式である。解くと$k_{1}=l$、$k_{2}=-l-1$である。したがって次を得る。

$$R(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}R_{l}(r)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}\left( A_{l}r^{l}+\frac{ B_{l}}{r^{l+1}} \right)$$

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