極座標系における速度と加速度
極座標系での速度と加速度
$$ \begin{align*} \mathbf{v}&=\dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} \\ \mathbf{a}&= (\ddot r -r\dot{\theta} ^2)\hat{\mathbf{r}} + (2\dot{r} \dot{\theta} + r\ddot{\theta})\hat{\boldsymbol{\theta}} \end{align*} $$
導出
極座標系では、単位ベクトルは以下のようである。
$$ \begin{align*} && \mathbf{r}&=r\hat{\mathbf{r}}=x\hat{\mathbf{x}} + y \hat{\mathbf{y}} \\ \implies && \hat{\mathbf{r}} &= \frac{x}{r}\hat{\mathbf{x}} +\frac{y}{r} \hat{\mathbf{y}}=\cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\theta \hat{\mathbf{y}} = \hat{\mathbf{r}} (\theta) \\ {} \\ && \hat \theta &= \hat{\mathbf{r}}(\theta+\pi/2)= -\sin\theta \hat{\mathbf{x}} + \cos\theta \hat{\mathbf{y}} \end{align*} $$
速度は位置を時間で微分して、加速度は速度を時間で微分して求められる。ちなみに$\dot{r}$は「アルドット」と読む。物理学で文字の上の点は時間に関する微分を意味する。
$$ \dot{r}=\frac{dr}{dt} $$
速度
$\mathbf{r}$を$t$に関して微分すると次のようになる。
$$ \mathbf{v}=\frac{d \mathbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(r \hat{\mathbf{r}})=\frac{d r}{dt}\hat{\mathbf{r}} + r\frac{d \hat{\mathbf{r}}}{dt} =\dot{r} \hat{\mathbf{r}} +r \dot{\hat{\mathbf{r}}} $$
$\dot{\hat{\mathbf{r}}}$を計算しよう。$\hat{\mathbf{x}}$と$\hat{\mathbf{y}}$は時間に関して変わらないので$\dfrac{d \hat{\mathbf{x}}}{dt}=0$が成り立つ。したがって次のようになる。
$$ \begin{align*} \dot{\hat{\mathbf{r}}} = \frac{d}{dt}(\hat{\mathbf{r}}) &= \frac{d}{dt}(\cos\theta \hat{\mathbf{x}}) + \frac{d}{dt}(\sin\theta \hat{\mathbf{y}}) \\ &= \frac{\cos\theta}{dt}\hat{\mathbf{x}} + \frac{\sin\theta}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= \frac{\cos\theta}{d \theta}\frac{d \theta}{dt}\hat{\mathbf{x}}+\frac{\sin\theta}{d \theta}\frac{d \theta}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= -\sin\theta \frac{d \theta}{dt}\hat{\mathbf{x}}+\cos\theta \frac{d \theta}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= \frac{d \theta }{dt}(-\sin\theta \hat{\mathbf{x}}+\cos\theta \hat{\mathbf{y}}) \\ &= \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} \end{align*} $$ したがって、極座標系での速度は次のようになる。
$$ \mathbf{v}=\dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} $$
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加速度
$\mathbf{v}$を$t$に関して微分すると次のようになる。
$$ \mathbf{a} = \dfrac{d\mathbf{v}}{dt} = \dfrac{d(\dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}})}{dt} = \ddot{r} \hat{\mathbf{r}} + \dot{r} \dot{\hat{\mathbf{r}}} + \dot{r} \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} + r \ddot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} + r \dot{\theta} \dot{\hat{\boldsymbol{\theta}}} $$
$\dot{ \hat{\boldsymbol{\theta}}}$を計算すると以下のようになる。
$$ \begin{align*} \dot{ \hat{\boldsymbol{\theta}}} = \frac{d}{dt}(\hat{\boldsymbol{\theta}}) &= \frac{d}{dt}(-\sin\theta \hat{\mathbf{x}})+\frac{d}{dt}(\cos\theta \hat{\mathbf{y}}) \\ &= -\frac{d \sin\theta}{dt}\hat{\mathbf{x}} +\frac{d\cos\theta}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= -\frac{d\sin\theta}{d \theta}\frac{d \theta}{dt}\hat{\mathbf{x}}+\frac{d\cos\theta}{d \theta}\frac{d \theta}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= \dfrac{d\theta}{dt} (-\cos\theta \hat{\mathbf{x}}-\sin\theta \hat{\mathbf{y}}) \\ &= - \dot{\theta} \hat{\mathbf{r}} \end{align*} $$
$\dot{\hat{\mathbf{r}}}$は速度を求める時に計算したので、代入して整理すると次の結果を得る。
$$ \begin{align*} \mathbf{a} &= \ddot r \hat{\mathbf{r}} +\dot{r} \dot{ \hat{\mathbf{r}}} + \dot{r} \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} + r \ddot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} + r \dot{\theta} \dot{ \hat{\boldsymbol{\theta}}} \\ &= \ddot r \hat{\mathbf{r}} +\dot{r} \dot{\theta} \hat{\theta} + \dot{r} \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} + r \ddot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} -r \dot{\theta} \dot{\theta} \hat{\mathbf{r}} \\ &= (\ddot r -r\dot{\theta} ^2)\hat{\mathbf{r}} + (2\dot{r} \dot{\theta} + r\ddot{\theta})\hat{\boldsymbol{\theta}} \end{align*} $$
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