📂微分方程式

ベッセル方程式の級数解：第一種ベッセル関数

定義¹

$\nu \in \mathbb{R}$に対して、以下の形の微分方程式を$\nu$次のベッセル方程式という。

$$\begin{align*} && x^{2} y^{\prime \prime} +xy^{\prime}+(x^{2}-\nu^{2})y &= 0 \\ \text{or} && y^{\prime \prime}+\frac{1}{x} y^{\prime} + \left( 1-\frac{\nu^{2}}{x^{2}} \right)y &= 0 \end{align*}$$

説明

ベッセル方程式は、球座標系で波動方程式を解くときに出現する微分方程式だ。係数は定数ではなく、独立変数$x$に依存する。$x=0$の時、以下の式を満たすので、$x=0$は正則特異点である。

$$\lim \limits_{x\rightarrow 0} x \frac{x}{x^{2}}=1<\infty,\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}x^{2}\frac{x^{2}-\nu^{2}}{x^{2}}=-\nu^{2} < \infty$$

したがって、フロベニウス法を用いて解を求めることができ、級数解は次のようになる。

$$\begin{align*} J_{\nu}(x) &= \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2} \right)^{2n+\nu} \\ J_{-\nu}(x) & =\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)\Gamma (n-\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n-\nu} \end{align*}$$

これを**$\nu$次第1種ベッセル関数**と呼ぶ。ここで、$\Gamma (x)$はガンマ関数である。二つの級数の次数を見ると、互いに線型独立であることが分かる。したがって、$\nu$次のベッセル方程式の一般解は次のようになる。

$$y(x)=AJ_{\nu}(x)+BJ_{-\nu}(x)$$

ただし、これは$\nu$が整数でない場合にのみ成り立つ。$\nu$が整数の場合、$J_{\nu}$と$J_{-\nu}$が独立でないため、ノイマン関数と呼ばれる第二の解を求める必要がある。

解法

ベッセル方程式の解を次のような冪級数と仮定する。

$$\begin{equation} y=\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r}=x^{r}(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots)=a_{0}x^{r}+a_{1}x^{r+1}+a_{2}x^{r+2}+\cdots \label{1} \end{equation}$$

まず、ベッセル方程式の形を少し変えてみよう。$x(xy^{\prime})^{\prime}=x^{2}y^{\prime \prime}+xy^{\prime}$であるので、ベッセル方程式は次のように表せる。

$$x(xy^{\prime})+(x^{2}-\nu^{2})y=0$$

ベッセル方程式に代入するため、$\eqref{1}$から$x(xy^{\prime})^{\prime}, x^{2}y$を求めると次のようになる。

$$\begin{align*} y^{\prime} &=ra_{0}x^{r-1}+(r+1)a_{1}x^{r}+(r+2)a_{2}x^{r+1}+\cdots \\ xy^{\prime}&=ra_{0}x^{r}+(r+1)a_{1}x^{r+1}+(r+2)a_{2}x^{r+2}+\cdots \\ (xy^{\prime})^{\prime}&=r^{2}a_{0}x^{r-1}+(r+1)^{2}a_{1}x^{r}+(r+2)^{2}a_{2}x^{r+1}+\cdots \\ x(xy^{\prime})^{\prime}&=r^{2}a_{0}x^{r}+(r+1)^{2}a_{1}x^{r+1}+(r+2)^{2}a_{2}x^{r+2}+\cdots \\ &= \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}(r+n)^{2}x^{n+r} \end{align*}$$

これをベッセル方程式に代入すると以下のようになる。

$$\begin{align*} &&&\left( r^{2}a_{0}x^{r}+(r+1)^{2}a_{1}x^{r+1}+(r+2)^{2}a_{2}x^{r+2}+\cdots \right) +(x^{2}-\nu^{2})\left( a_{0}x^{r}+a_{1}x^{r+1}+a_{2}x^{r+2}+\cdots \right) \\ \implies&&& \left( r^{2}a_{0}x^{r}+(r+1)^{2}a_{1}x^{r+1}+(r+2)^{2}a_{2}x^{r+2}+\cdots \right) +\left( a_{0}x^{r+2}+a_{1}x^{r+3}+a_{2}x^{r+4}+\cdots \right) \\ &&&+ \left( -\nu^{2}a_{0}x^{r}-\nu^{2}a_{1}x^{r+1}-\nu^{2}a_{2}x^{r+2}+\cdots \right) \end{align*}$$

これを$x$の次数に合わせて整理すると

$$\begin{align*} a_{0}(r^{2}-\nu^{2})x^{r}+a_{1}\left( (r+1)^{2}-\nu^{2} \right)x^{r+1} +\left(a_{2}(r+2)^{2}-a_{2}\nu^{2} +a_{0} \right)x^{r+2}& \\ +\cdots + (a_{n}(r+n)^{2}-a_{n}\nu^{2}+a_{n-2})x^{n+r}+\cdots &= 0 \end{align*}$$

任意の$x$に対してこの方程式が常に成立するためには、すべての係数が$0$でなければならない。最初の項を見てみよう。

$$a_{0}(r^{2}-\nu^{2})=0$$

$a_{0}\ne 0$なので、$r=\pm\nu$である。次の項を見てみよう。

$$a_{1}\left( (r+1)^{2}-\nu^{2} \right)=0$$

前に$r=\pm \nu$という条件を得たので、カッコの中の式は絶対に$0$になり得ない。したがって、$a_{1}=0$である。三番目の項の係数からは、一般的に次のように表される。

$$a_{n}(r+n)^{2}-a_{n}\nu^{2}+a_{n-2}=0$$

これを整理すると

$$\begin{equation} a_{n}=\frac{-a_{n-2}}{(r+n)^{2}-\nu^{2}} \label{2} \end{equation}$$

先に得た$a_{1}=0$と上記の条件を合わせると、すべての奇数である$n$に対して、$a_{n}=0$となることが分かる。したがって、$n$が偶数の時の$a_{n}$だけを求めれば良い。

ケース1. $r=\nu$

この場合、$\eqref{2}$は

$$a_{n}=\frac{- a_{n-2}}{n^{2}+2n\nu}=\frac{-a_{n-2}}{n(n+2\nu)}$$

私たちは$n$が偶数である場合にのみ関心があるので、$n$を$2n$と表記しよう。すると

$$a_{2n}=\frac{-a_{2n-2}}{2n(2n+2\nu)}=\frac{-a_{2n-2}}{2^{2}n(n+\nu)}$$

これで$a_{2}$から順に求めてみると以下のようになる。

$$\begin{align*} a_{2} & =\frac{-a_{0}}{2^{2}\cdot 1(\nu+1)} \\ a_{4} &= \frac{-a_{2}}{2^{2}\cdot 2(\nu+2)}=\frac{a_{0}}{2^{4}\cdot2\cdot1(\nu+1)(\nu+2)} \\ a_{6} &=\frac{-a_{4}}{2^{2}\cdot3 (\nu+3)}=\frac{-a_{0}}{2^{6}\cdot3\cdot2\cdot1(\nu+1)(\nu+2)(\nu+3)} \\ \vdots \\ a_{2n}&=\frac{(-1)^{n}a_{0}}{2^{2n}n!(\nu+1)(\nu+2)\cdots(\nu+n)} \end{align*}$$ ここで、ガンマ関数を利用すると、さらにシンプルに表せる。ガンマ関数には次のような性質がある。

$$\Gamma (\nu+1)=\nu\Gamma (\nu) \implies \dfrac{1}{\nu} = \dfrac{\Gamma (\nu)}{\Gamma (\nu+1)}$$

これを利用すると、以下を得る。

$$\begin{align*} && \frac{1}{\nu+1}&=\frac{\Gamma (\nu+1)}{\Gamma (\nu+2)}& \\ \implies && \frac{1}{(\nu+1)(\nu+2)}&=\frac{\Gamma (\nu+1)}{(\nu+2)\Gamma (\nu+2)}=\frac{\Gamma (\nu+1)}{\Gamma (\nu+3)} \\ \implies && \frac{1}{(\nu+1)(\nu+2)(\nu+3)}&=\frac{\Gamma (\nu+1)}{(\nu+3)\Gamma (\nu+3)} =\frac{\Gamma (\nu+1)}{\Gamma (\nu+4)} \\ \implies && &\vdots \\ \implies && \frac{1}{(\nu+1)\cdots(\nu+n)}&=\frac{\Gamma (\nu+1)}{\Gamma (\nu+n+1)} \end{align*}$$

これを先に求めた係数に代入し、階乗もガンマ関数で表すと、各係数は以下のようになる。

$$\begin{align*} a_{2} & =\frac{-a_{0}\Gamma (\nu +1)}{2^{2} 1! \Gamma (\nu+2)} \\ a_{4} &= \frac{a_{0} \Gamma (\nu+1)}{2^{4} 2!\Gamma (\nu+3)} \\ a_{6} &=\frac{-a_{0}\Gamma (\nu+1)}{2^{6}3!\Gamma (\nu+4)} \\ \vdots \\ a_{2n}&=\frac{(-1)^{n}\Gamma (\nu+1)}{2^{2n}\Gamma (n+1)\Gamma (\nu+n+1)}a_{0} \end{align*}$$

これを$\eqref{1}$に代入すると

$$\begin{align*} y &= \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{2n}x^{2n+\nu} \\ &= \sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}a_{0}\Gamma (\nu+1)}{2^{2n}\Gamma (n+1)\Gamma (\nu+n+1)}x^{2n+\nu} \end{align*}$$

形を整理して

$$y=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{\nu}a_{0}\Gamma (\nu+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n+\nu}$$

$a_{0}=\frac{1}{2^{\nu} \Gamma (\nu+1)}$とすると

$$J_{\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)\Gamma (n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n+\nu}$$

これを$\nu$次の第1種ベッセル関数と呼ぶ。

ケース2. $r=-\nu$

この場合は単純に**ケース1.**の結果で$\nu$を$-\nu$に変えたものと同じだ。解法の過程は完全に同じなので、詳細な計算過程と説明なしに主要な結果のみ記載することにする。

$$a_{n}=\frac{- a_{n-2}}{n(n-2\nu)}$$

$$\begin{align*} a_{2n}&=\frac{ -a_{2n-2}}{ 2^{2}n(n-\nu) } \\ &=\frac{(1-)^{n}a_{0}}{2^{2n}n!(1-\nu)(2-\nu)\cdots(n-\nu)} \end{align*}$$

$$\frac{1}{(1-\nu)(2-\nu)\cdots(n-\nu)}=\frac{\Gamma (1-\nu)}{\Gamma (n-\nu+1)}$$

$$a_{2n}=\frac{(-1)^{n}\Gamma (1-\nu)}{2^{2n}\Gamma (n+1)\Gamma (n-\nu+1)}$$

$$\begin{align*} y &=\sum \limits _{n=0} ^{\infty} a_{2n}x^{2n-\nu} \\ &=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}a_{0}\Gamma (1-\nu)}{2^{2n}\Gamma (n+1)\Gamma (n-\nu+1)}x^{2n-\nu} \\ &=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{-\nu}a_{0}\Gamma (1-\nu)}{\Gamma (n+1)\Gamma (n-\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n-\nu} \end{align*}$$

$$a_{0}=\frac{2^{\nu}}{\Gamma (1-\nu)}$$

$$J_{-\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)\Gamma (n-\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n-\nu}$$

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