📂確率分布論

コーシー分布：平均が存在しない分布

定義

以下の確率密度関数を持つ連続確率分布をコーシー分布と呼ぶ。 $C$ $$ f(x) = {1 \over \pi} {1 \over {x^2 + 1}} \qquad , x \in \mathbb{R} $$

説明

全ての確率分布に平均や分散があると思われがちだけど、実際にはそうではない。その代表例がコーシー分布で、一見正規分布に似ているが、両側の裾が厚い形状をしている。パラメータに関係なく、モーメント生成関数が存在しないので、平均であれ分散であれモーメントを含んだ全てのものは存在できない。

もちろん、母平均があろうと無かろうと、標本平均は計算できる。実際に$x$軸において$\theta$だけ平行移動したコーシー分布では、$\theta$のmle$\hat{\theta}$が標本平均として現れる。

一方、t-分布の確率密度関数は $$ g(y) = {{\Gamma ( (n+1)/2 ) } \over { \sqrt{\pi n} \Gamma (n/2) }} { {1} \over {(1 + y^{2} / n)^{(n+1)/2} } } $$ であり、コーシー分布は自由度$n=1$のt-分布と見なすことができる。

定理

コーシー分布のモーメント生成関数は存在しない。

証明¹

コーシー分布の確率分布関数は$\displaystyle f(x) = {1 \over \pi} {1 \over {x^2 + 1}}, -\infty < x < \infty$で与えられる。モーメント生成関数$\displaystyle E(e^{tx}) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} {1 \over \pi} {1 \over {x^2 + 1}} dx$が発散することを示すために、$t>0$のとき、平均値の定理により、 $$ {{e^{tx} - e^0} \over {tx - 0}} = { { e^{tx} - 1 } \over {tx} } = e^{\xi} \ge e^0 = 1 $$ を満たす$0< \xi < tx$が存在する。この式を少し整理すると、次の不等式を得る。 $$ e^{tx} \ge 1 + tx \ge tx $$ 再び積分に戻ると、 $$ \begin{align*} E(e^{tx}) \ge& \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} {1 \over \pi} {1 \over {x^2 + 1}} dx \\ \ge& \int_{0}^{\infty} e^{tx} {1 \over \pi} {1 \over {x^2 + 1}} dx \\ \ge& \int_{0}^{\infty} {1 \over \pi} {tx \over {x^2 + 1}} dx \\ =& { t \over {2 \pi} } \left[ \ln (x^2+1) \right]_{0}^{\infty} \\ =& \infty \end{align*} $$ したがって、コーシー分布のモーメント生成関数は存在しない。

■

コード

以下はコーシー分布、t-分布、コーシー分布の確率密度関数を示すJuliaのコードだ。

@time using LaTeXStrings
@time using Distributions
@time using Plots

cd(@__DIR__)

x = -4:0.1:4
plot(x, pdf.(Cauchy(), x),
 color = :red,
 label = "Cauchy", size = (400,300))
plot!(x, pdf.(TDist(3), x),
 color = :orange,
 label = "t(3)", size = (400,300))
plot!(x, pdf.(TDist(30), x),
 color = :black, linestyle = :dash,
 label = "t(30)", size = (400,300))
plot!(x, pdf.(Normal(), x),
 color = :black,
 label = "Standard Normal", size = (400,300))

xlims!(-4,5); ylims!(0,0.5); title!(L"\mathrm{pdf\,of\, t}(\nu)")
png("pdf")