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確率過程における射影マッピング 📂確率論

確率過程における射影マッピング

定義

空間$S$が距離空間(../381)$( S , \rho)$でありながら可測空間(../490)$(S,\mathcal{B}(S))$でもあり、$k \in \mathbb{N}$としよう。

  1. 離散型プロジェクションマッピング：離散時間$N = \left\{ n \in \mathbb{N}: n \le \xi, \xi \in [0,\infty] \right\}\subset \mathbb{N}$と$S$の$\displaystyle S^{\sup N}:= \prod_{n \in N} S$の元$x:= (x_{1} , x_{2} , \cdots )$に対して、次のように定義される$\pi_{k}: S^{\sup N} \to S^{k}$を離散型プロジェクションマッピングと呼ぶ。 $$ \pi_{k} (x) = (x_{1} , x_{2} , \cdots , x_{k}) $$
  2. 連続型プロジェクションマッピング：連続時間$T \subset [0,\infty]$に対して$\displaystyle S^{T}:= \prod_{t \in T} S$の元$x_{t} = x(t)$と有限集合$T_{k}:=\left\{ t_{1} , t_{2} , \cdots , t_{k} \right\} \subset T$に対して、次のように定義される$\pi_{T_{k}}: S^{T} \to S^{k}$を連続型プロジェクションマッピングと呼ぶ。 $$ \pi_{T_{k}} (x) = (x_{t_{1}} , x_{t_{2}} , \cdots , x_{t_{k}}) $$
  • $\displaystyle X = \prod_{\alpha \in \mathscr{A}} X_{\alpha}$のような表現は空間のデカルト積を意味する。

説明

数学全般でこのような写像をプロジェクションマッピングと呼び、その性質がどんなものであれ、通常、その本質的な概念は次元を減らすことにある。確率過程論でも同じ目的で導入され、同じ方法で使われている。確率論で次元を減らすとは、どんな空間でもセパレーティングクラスを考え、確率変数の等価性、確率変数の収束を論じる意図がある。無限に続く確率過程が離散型でも連続型でも、有限な部分だけを見て判断できれば良いのだ。

定義だけを見ても理解できないのは普通だから、以下の例を見て理解しよう。別に証明することはないので、$\pi$がどんな役割をするのか、セパレーティングクラスがどのように作られるのかに焦点を当てて読めばいい。どんな空間でもまずは可分空間であり完備空間なので、ポーランド空間であることが議論される。ある空間がポーランド空間であるということは、そこで定義された確率測度がタイトだから、私たちが扱いやすい空間になるのだ：

  • (1) 多変量確率変数: 確率過程論の観点から見ると、多変量確率変数でさえも確率変数の有限シーケンスに過ぎない。わずかな$k$次元であれば、プロジェクションマッピングが出てくる場もない。$S = \mathbb{R}^{k}$にユークリッド距離$\rho = d_{2}$が与えられると、$\left( \mathbb{R}^{k} , \rho \right)$は存在して可分性と完備性を同時に満たし、次の集合はセパレーティングクラスになる。 $$ \left\{ (-\infty,x_{1}] \times \cdots \times (-\infty,x_{k}]: (x_{1} , \cdots , x_{k}) \in \mathbb{R}^{k} \right\} $$
  • (2) 確率過程：$S = \mathbb{R}^{\infty}$の二つの元$x:= (x_{1} , x_{2}, \cdots )$と$y:= (y_{1} , y_{2}, \cdots )$に対する距離$\rho$を次のように定義すると、$(\mathbb{R}^{\infty},\rho)$は距離空間になる。 $$ \rho (x,y):= \sum_{i=1}^{\infty} {{ 1 } \over { 2^{i} }} \left( 1 \land \left| x_{i} - y_{i} \right| \right) $$ シーケンスは関数で、このような関数空間は完備性を持つことが容易に示せる。また、有限次元のときと同様に$\mathbb{Q}^{\infty}$が存在して可分性があることを同じ方法で示せる。今、クラス$\mathcal{C}$を以下のように定義しよう。 $$ \mathcal{C}:= \left\{ \pi_{k}^{-1}(H): H \in \mathcal{B} \left( \mathbb{R}^{k} \right) \right\} $$ これらの$\pi_{k}^{-1}(H) \subset \mathbb{R}^{\infty}$がどのようなものかを把握するために、いくつかの例を見てみよう：
    • (2)-1. $k=1$、$H = \left\{ 3 \right\}$ $$\pi_{1}^{-1}(H) = \left\{ (3, \times , \cdots), (3, \times , \cdots) , \cdots \right\} $$
    • (2)-2. $k=1$、$H = \left\{ 3, 5 \right\}$ $$ \pi_{1}^{-1}(H) = \left\{ (5, \times , \cdots), (3, \times , \cdots), (3, \times , \cdots) , \cdots \right\} $$
    • (2)-3. $k=1$、$H = \left\{ (x_{1} , x_{2}): x_{1} = 1 , x_{2} \in [0,2] \right\}$ $$ \pi_{2}^{-1}(H) = \left\{ (1, 0, \times , \cdots), (1, 1.24, \times , \cdots), (1, 1, \times , \cdots) , \cdots \right\} $$ すべての$k\in \mathbb{N}$とボレル集合$H \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R}^{k} \right)$に対して、$\mathcal{C}$はπシステムであり、$\sigma ( \mathcal{C}) = \mathcal{B} \left( \mathbb{R}^{\infty} \right)$を利用して$\mathcal{C}$がセパレーティングクラスであることを示す。
  • (3) 確率パス：閉区間$[a,b]$が定義域である連続関数の空間$S = C[a,b]$を考えてみよう。二つの連続関数$x,y \in C[a,b]$に対する距離$\rho$を次のように定義すれば、$(\mathbb{R}^{\infty},\rho)$は距離空間であるだけでなくバナッハ空間にもなり、完備性を持つ。 $$ \rho (x,y):= \sup_{t \in [a,b]} \left| x(t) - y(t) \right| $$ 可分性を示すことは他の例と大きく異なることはない。$[a,b]$内の有限個の点での関数値が有理数であり、その間を直線で結んだ連続関数の集合$D_{m}$、および$\displaystyle D = \bigcup_{m \in \mathbb{N}} D_{m}$により、$C[a,b]$は可分性を持つ。今、クラス$\mathcal{C}$を以下のように定義しよう。 $$ \mathcal{C}:= \left\{ \pi_{t_{k}}^{-1}(H): H \in \mathcal{B} \left( \mathbb{R}^{k} \right) \right\} $$ これは、ある時点$t_{i}$で関数値$x(t_{i})$が$H$によって特定のエリアを通過する連続関数をすべて集めたものである。言葉は難しいが、図を見ると理解しやすい：
    • (3)-1. $T_{1}= \left\{ t_{1} \right\}$、$H = \left\{ 3 \right\}$ 20191122_212113.png

$\pi_{T_{1}}^{-1}(H)$は上の図のように、一点$(t_{1},3)$を通過する連続関数を集めた集合である。

  • (3)-2. $T_{1}= \left\{ t_{1} \right\}$、$H = \left\{ 3, 5 \right\}$ 20191122_212122.png

$\pi_{T_{1}}^{-1}(H)$は上の図のように、二点$(t_{1},3)$または$(t_{1},5)$を通過する連続関数を集めた集合である。

  • (3)-3. $T_{2}= \left\{ t_{1} , t_{2} \right\}$、$H = \left\{ (x_{1} , x_{2}): x_{1} = 1 , x_{2} \in [0,2] \right\}$ 20191122_212131.png

$\pi_{T_{2}}^{-1}(H)$は上の図のように、一点$(t_{1},1)$と区間$[0,2]$を通過する連続関数を集めた集合である。