📂測度論

マクシマル補題

定理¹

$\mathcal{B}$を$\mathbb{R}^n$でのオープンボールのコレクションとしよう。$U=\bigcup \limits_ { B\in \mathcal{B}} B$とする。すると、ある定数$c \lt m (U)$に対して、以下の条件を満たす互いに素な$B_{j} \in \mathcal{B}$が有限個存在する。

$$\dfrac{c}{3^{n}} \lt \sum \limits_{j=1}^{k} m(B_{j})$$

ここで$m$は$n$次元のルベーグ測度だ。

説明

実際に、この定理がマクシマル補題^{maximal lemma}と正式に名付けられているわけではなく、マクシマル定理で補題として使用されるために便宜上名付けられたものだ。

測度の値が$m(U)$と$c/3^{n}$の間の有限集合${B_{j}}$が必ず存在することを保証する。

証明

まず、$c< m (K) \le m (U)$を満たすコンパクト集合$K \subset U$が存在する²。すると、コンパクトの定義により$K$のサブカバー$\left\{ A_{i} \right\}_{1}^l$が存在する。今、これらの中で最も大きい³ものを$B_{1}$とする。$B_{1}$と互いに素な$A_{i}$の中で最も大きいものを$B_2$とする。そして、$B_{1}$と$B_2$と互いに素な$A_{i}$の中で最も大きいものを$B_{3}$とする。このようにして、有限コレクション$\left\{ B_{j} \right\}$を構成することができる。

$\left\{ B_{j} \right\}$に含まれなかった$A_{i}$に対して、$A_{i} \cap B_{j} \ne \varnothing$を満たす$j$が存在する。また、そのような$j$の中で最も小さい$j$に対して⁴、$A_{i}$の半径は$B_{j}$以下である。つまり、$B_{j}$の半径より大きくなることはできない。そうでなければ、$\left\{ B_{j}\right\}$を構成する時に、$A_{i}$が$B_{j}$の名前を持っていったことになる⁵。

今、$B^{\ast}_{j}$を$B_{j}$と中心が同じで半径が3倍のオープンボールとしよう。すると、$A_{i}$は$B_{j}$より半径が大きくなく、$B_{j}$と重なるため、必ず$B^{\ast}_{j}$に含まれる。したがって、$K \subset \bigcup A_{j} \subset \bigcup B^{\ast}_{j}$である。

$$\begin{align*} c \lt m (K) & \lt m \left( \bigcup \nolimits_{1}^k B^{\ast}_{j}\right) \\ &= \sum \limits_{1}^{k} m (B^{\ast}_{j}) \\ &= \sum \limits_{1}^{k} 3^{n} m (B_{j}) \end{align*}$$

$$\implies \dfrac{c}{3^{n}} \lt \sum \limits_{j=1}^{k} m(B_{j})$$

■

定義

全ての有界な可測集合$K \subset \mathbb{R}^n$に対して、

$$\int_{K} |f(x)|dx<\infty$$

これを満たす関数$f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C}$を（ルベーグ測度に関して）局所的に可積分である^{locally integrable}と言い、局所的に可積分な関数の集まりを$L^{1}_{\mathrm{loc}}$のように表す。

$f \in L^1_{\mathrm{loc}}$、$x\in \mathbb{R}^n$、$r>0$とする。中心が$x$で半径が$r$のオープンボールを$B(r,x)=B_{r}(x)$のように表す。すると、$B_{r}(x)$上で$f$の関数値の平均$A_{r}f(x)$を次のように定義する。

$$A_{r} f(x) := \frac{1}{m \big( B_{r}(x) \big)} \int _{B_{r}(x)}f(y)dy$$

$A_{r}$を平均作用素^{averaging operator}という。