📂集合論

外延性公理

公理 ¹

$$ \forall A \forall B ( \forall x ( x \in A \iff x \in B) ) $$ 任意の二つの集合 $A$、$B$ に属する要素が同一である場合、二つの集合は等しいとし、$A = B$ のように表す。

説明

一方で $A$ と $B$ が等しくない場合、$A \ne B$ のように表す。

二つの集合の等しさは、それ自体が公理であり定義でもある。Extensionalityは拡張ではなく外延を意味し、集合は「いかなる集合」と同じ曖昧な説明ではなく、表面に見える要素の外延性のみで区別するということである。要素の概念が「我々の直観または思考の対象として互いに明確に区別されるオブジェクト」という点を考えれば、このようなアプローチは妥当と言える。

より平易に言えば、外延公理は「要素の本質」などを考慮しないということだ。我々の直観では、$a$ も $A$ も同じ文字だが、大文字小文字の違いがあるだけであり、そのようなものはどうでもよく、$a=A$ と言えば同じものであり、$a \ne A$ と言えば別物として見るということだ。

このような「等しさ」の定義から、集合の要素には順序や重複がない。例えば、次の等式が成立する: $$ \left\{ 9, 6, 0, 1, 2, 5 \right\} = \left\{ 0, 1, 2, 5, 6 ,9 \right\} $$

$$ \left\{ y, y, x, y \right\} = \left\{ y , x \right\} $$

$$ \left\{ 1, 5, 0, 4, 2, 1 \right\} = \left\{ 0, 1, 2, 4, 5 \right\} $$

集合の包含関係とともに次の有用な定理を紹介する。この性質は数学全般で広く使われるが、特に抽象代数学や位相数学などの純粋数学ではほとんど呼吸するかのように使用せざるを得ない定理だ。外延公理自体があまりにも常識的なので軽んじることがよくあるが、本当に重要な基礎なのでそうしないように。

定理

$$ A = B \iff A \subset B \land B \subset A $$

証明

$$ \begin{align*} A = B \iff & \forall x ( (x \in A) \iff (x \in B)) \\ \iff & \forall x \left( ( x \in A \implies x \in B) \land ( x \in B \implies x \in A) \right) \\ \iff &A \subset B \land B \subset A \end{align*} $$

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