ガンマ分布と指数分布の関係
定理
$$ \Gamma \left(1, { 1 \over \lambda } \right) \iff \text{exp} (\lambda) $$
説明
指数分布の直感的な定義を考えてみると、ある事象が起こるまでにかかる時間に関心があるということだ。離散確率分布で言えば、幾何分布がこれに該当する。
このとき、幾何分布を事象の「発生回数」について一般化したものが負の二項分布だ。このセンスで言えば、指数分布を一般化したものはガンマ分布だと言えるだろう。このとき「発生回数」はガンマ分布$\displaystyle \Gamma \left( k, { 1 \over \lambda } \right)$における$k$に該当するが、ガンマ分布の母数$k$は特に整数である必要はないため、完全に同値だと考えてはいけない。
ガンマ分布では、指数分布の母数$\lambda$ではなく$\displaystyle { 1 \over \lambda }$を取ることにも注目しよう。あまり難しく考えず、ただこのように考えられるということだけ知っておけば十分だろう。
証明
戦略：二つの分布の積率母関数が同じ形で表せることを示す。
指数分布$\text{exp} (\lambda)$の積率母関数は$\displaystyle m_{1}(t) := (1- {t \over \lambda})^{-1}$であり、ガンマ分布$\Gamma (k, \theta)$の積率母関数は$\displaystyle m_{2}(t) := (1-\theta t)^{-k}$である。ガンマ分布の積率母関数に$ k = 1$と$\displaystyle \theta = { 1 \over \lambda }$を代入すると $$ m_{2}(t) = (1 - \theta t)^{-k} = (1- {t \over \lambda})^{-1} =m_{1}(t) $$
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