ガンマ分布と指数分布の関係
📂確率分布論ガンマ分布と指数分布の関係
定理
Γ(1,λ1)⟺exp(λ)
説明
指数分布の直感的な定義を考えると、あるイベントが起きるまでの時間に関心があるということだ。離散確率分布で考えるならば、幾何分布がこれに該当する。
この時、イベントの「発生回数」について一般化したものが負の二項分布だ。このセンスから、指数分布の一般化はガンマ分布と言えるだろう。この時の「発生回数」はガンマ分布のΓ(k,λ1)からkに該当するけど、ガンマ分布のパラメーターkは特に整数である必要はないから、完全に同等と考えるのは難しい。
ガンマ分布では、指数分布のパラメーターλではなくλ1を取ることにも注目しよう。難しく考える必要はない、ただこのように考えることができると知っていれば十分だ。
証明
戦略:二つの分布のモーメント生成関数が同じ形で表現できることを示す。
指数分布exp(λ)のモーメント生成関数はm1(t):=(1−λt)−1で、ガンマ分布Γ(k,θ)のモーメント生成関数はm2(t):=(1−θt)−kだ。ガンマ分布のモーメント生成関数にk=1とθ=λ1を代入すると
m2(t)=(1−θt)−k=(1−λt)−1=m1(t)
■