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ガンマ分布と指数分布の関係 📂確率分布論

ガンマ分布と指数分布の関係

定理

Γ(1,1λ)    exp(λ) \Gamma \left(1, { 1 \over \lambda } \right) \iff \text{exp} (\lambda)

説明

指数分布の直感的な定義を考えると、あるイベントが起きるまでの時間に関心があるということだ。離散確率分布で考えるならば、幾何分布がこれに該当する。

この時、イベントの「発生回数」について一般化したものが負の二項分布だ。このセンスから、指数分布の一般化はガンマ分布と言えるだろう。この時の「発生回数」はガンマ分布のΓ(k,1λ)\displaystyle \Gamma \left( k, { 1 \over \lambda } \right)からkkに該当するけど、ガンマ分布のパラメーターkkは特に整数である必要はないから、完全に同等と考えるのは難しい。

ガンマ分布では、指数分布のパラメーターλ\lambdaではなく1λ\displaystyle { 1 \over \lambda }を取ることにも注目しよう。難しく考える必要はない、ただこのように考えることができると知っていれば十分だ。

証明

戦略:二つの分布のモーメント生成関数が同じ形で表現できることを示す。


指数分布exp(λ)\text{exp} (\lambda)のモーメント生成関数はm1(t):=(1tλ)1\displaystyle m_{1}(t) := (1- {t \over \lambda})^{-1}で、ガンマ分布Γ(k,θ)\Gamma (k, \theta)のモーメント生成関数はm2(t):=(1θt)k\displaystyle m_{2}(t) := (1-\theta t)^{-k}だ。ガンマ分布のモーメント生成関数にk=1 k = 1θ=1λ\displaystyle \theta = { 1 \over \lambda }を代入すると m2(t)=(1θt)k=(1tλ)1=m1(t) m_{2}(t) = (1 - \theta t)^{-k} = (1- {t \over \lambda})^{-1} =m_{1}(t)