logo

集合の境界から一定距離外/内の集合 📂距離空間

集合の境界から一定距離外/内の集合

定義

開集合 ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^nが与えられたとする。すると、Ω<δ\Omega_{<\delta}Ω>δ\Omega_{>\delta}を下記のように定義する。

Ω<δ:={xΩ:dist(x,bdryΩ)<δ}Ω>δ:={xΩ:dist(x,bdryΩ)>δ} \begin{align*} \Omega_{<\delta} :=& \left\{ x\in\Omega : \mathrm{dist}(x, \mathrm{bdry}\Omega)<\delta \right\} \\ \Omega_{>\delta} :=& \left\{ x\in\Omega : \mathrm{dist}(x, \mathrm{bdry}\Omega)>\delta \right\} \end{align*}

説明

2.png

このような集合は偏微分方程式、関数解析などで有用に使われる。教科書によっては、Ωδ=Ω<δ\Omega_\delta=\Omega_{<\delta}の場合1もあれば、Ωδ=Ω>δ\Omega_\delta=\Omega_{>\delta}の場合2もある。そんな場合は、授業や教科書の記法に忠実に従えばいい。生えび寿司屋では、二つの定義を使うので、上記のような記法で定義した。


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p82 ↩︎

  2. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p713 ↩︎