📂距離空間

集合の境界から一定距離外/内の集合

定義

開集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$が与えられたとする。すると、$\Omega_{<\delta}$と$\Omega_{>\delta}$を下記のように定義する。

$$ \begin{align*} \Omega_{<\delta} :=& \left\{ x\in\Omega : \mathrm{dist}(x, \mathrm{bdry}\Omega)<\delta \right\} \\ \Omega_{>\delta} :=& \left\{ x\in\Omega : \mathrm{dist}(x, \mathrm{bdry}\Omega)>\delta \right\} \end{align*} $$

説明

このような集合は偏微分方程式、関数解析などで有用に使われる。教科書によっては、$\Omega_\delta=\Omega_{<\delta}$の場合¹もあれば、$\Omega_\delta=\Omega_{>\delta}$の場合²もある。そんな場合は、授業や教科書の記法に忠実に従えばいい。生えび寿司屋では、二つの定義を使うので、上記のような記法で定義した。