📂動力学

ホップ分岐

定義

ホップ分岐^{Hopf bifurcation}は力学系のパラメータ変化に伴い、固定点の安定性が反転し、新しい周期軌道が現れるか消える分岐である。

正規形¹

複素数 $z$ が $z = x + iy$ もしくは極座標系で $z = r e^{i \phi}$ と表されるとする。ホップ分岐はスーパークリティカル^{supercritical}とサブクリティカル^subcriticalの2つのタイプに分けられ、以下の正規形を持つ:

• Supercritical:
  直交座標系で $$\begin{align*} \dot{x} =& \alpha x - y - x \left( x^{2} + y^{2} \right) \\ \dot{y} =& x + \alpha y - y \left( x^{2} + y^{2} \right) \end{align*}$$
  複素平面で $$\dot{z} = \left( \alpha + i \right) z - z \left| z \right|^{2}$$
  極座標系で $$\begin{align*} \dot{r} =& r \left( \alpha - r^{2} \right) \\ \dot{\theta} =& 1 \end{align*}$$
• Subcritical:
  直交座標系で $$\begin{align*} \dot{x} =& \alpha x - y + x \left( x^{2} + y^{2} \right) \\ \dot{y} =& x + \alpha y + y \left( x^{2} + y^{2} \right) \end{align*}$$
  複素平面で $$\dot{z} = \left( \alpha + i \right) z + z \left| z \right|^{2}$$
  極座標系で $$\begin{align*} \dot{r} =& r \left( \alpha + r^{2} \right) \\ \dot{\theta} =& 1 \end{align*}$$

ダイアグラム

• Supercritical: $\alpha$ が徐々に大きくなるとする。$\alpha \le 0$ では $z = 0$ が安定ノードだったが、$\alpha > 0$ で $z = 0$ が不安定ノードに変わり、安定なリミットサイクルが生じる。

• Subcritical: $\alpha$ が徐々に小さくなるとする。$\alpha \ge 0$ では $z = 0$ が不安定ノードだったが、$\alpha < 0$ で $z = 0$ が安定ノードに変わり、不安定なリミットサイクルが生じる。

説明

ホップ分岐は正式にはポアンカレ-アンドロノフ-ホップ分岐^{Poincaré–Andronov–Hopf bifurcation}とも呼ばれる分岐であり、ロトカ-ヴォルテラ被食者-捕食者モデルや化学反応などに関連する数学的モデルでその例を容易に見つけることができる^{2 3}。

一緒に見る

• ネイマーク-サッカー分岐: 離散的システムにおけるホップ分岐と見ることができる。