📂数値解析

ニュートン＝コーツの積分公式

定義 ¹

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$が$[a,b]$で積分可能であり、$[a,b]$を間隔が$\displaystyle h:= {{b-a} \over {n}}$の一定で$a = x_{0} < \cdots < x_{n} = b$のようなノードポイントに分けたとしよう。以下のように定義された数値積分オペレーター$I_{n}^{p}$をニュートン-コーツの公式と言う。 $$ I_{n}^{p} (f) := \sum_{i=0}^{n} w_{i} f ( x_{i} ) $$

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• $i=0,1,\cdots , n$に対して$x_{i} := a + i h$であり、$l_{i}$はラグランジュの公式で使われる多項式$\displaystyle l_{i} (x) := \prod_{i \ne j} \left( {{ x - x_{j} } \over { x_{i} - x_{j} }} \right)$を意味する。
• 重み^weight$w_{i}$は$\displaystyle w_{i} := \int_{a}^{b} l_{i} (x) dx$と同様に定義されている。

誤差

$f \in C^{n+2} [a,b]$としよう。 $$ C_{n} := \begin{cases} \displaystyle {{1} \over {(n+2)! }} \int_{0}^{n} \mu^2 ( \mu - 1 ) \cdots ( \mu - n ) d \mu & , n \text{ is even} \\ \displaystyle {{1} \over {(n+1)! }} \int_{0}^{n} \mu ( \mu - 1 ) \cdots ( \mu - n ) d \mu & , n \text{ is odd} \end{cases} $$ そしてある$ \xi \in [a,b]$に対して $$ E_{n}^{p} (f) = \begin{cases} C_{n} h^{n+3} f^{(n+2)} ( \xi ) & , n \text{ is even} \\ C_{n} h^{n+2} f^{(n+1)} ( \xi ) & , n \text{ is odd} \end{cases} $$

特殊化

台形則が$1$次ポリノミアル補間を使い、シンプソンの法則が$2$次ポリノミアル補間を使っているなら、$p$次について一般化することを考えるのは当然だ。ニュートン-コーツの積分公式は、近似時にその多項式の次数を上げて作ることができる全てのルールを含んでいる。

台形則

• (1) $p=1$: $$I^{1} (f) := h [ f(a) + f(b) ]$$

シンプソンの法則

• (2) $p=2$: $$I^{2} (f) := {{h} \over {3}} \left[ f(a) + 4 f \left( {{a + b} \over {2}} \right) + f(b) \right]$$

$3-8$の法則^{three-Eights rule}

• (3) $p=3$: $$I^{3} (f) := {{3h} \over {8}} \left[ f(a) + 3 f ( a + h ) + 3 f ( b - h ) + f(b) \right]$$

ブールの法則^{boole’s rule}

• (4) $p=4$: $$I^{4} (f) := {{2h} \over {45}} \left[ 7 f(a) + 32 f ( a + h ) + 12 f \left( {{a + b} \over {2}} \right) + 32 f(b - h) + 7 f(b) \right]$$