双対空間の内積
導入
ベクトル空間 $V$に対して、$(V, \braket{\cdot, \cdot}_{V})$をヒルベルト空間とする。$V^{\ast}$を$V$の双対空間とする。リース表現定理によれば任意の$f \in V^{\ast}$は唯一の$\mathbf{v}_{f} \in V$について次のように表現される。
$$ f = \braket{\cdot, \mathbf{v}_{f}}_{V}; \quad f(\mathbf{x}) = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{v}_{f}}_{V} \tag{1} $$
すなわち、$f \in V^{\ast}$と$\mathbf{v}_{f} \in V$は一対一対応である。$V$にはすでに内積がよく定義されており、$f, g \in V^{\ast}$は$V$に唯一対応する要素があるので、$V^{\ast}$の内積を以下のように自然に定義することができる。
定義
ヒルベルト空間$(V, \braket{\cdot, \cdot}_{V})$の双対空間$V^{\ast}$の内積を以下のように定義する。
$$ \braket{f, g}_{V^{\ast}} := \braket{\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{g}}_{V} , \qquad f, g \in V^{\ast} \tag{2} $$
このとき、$\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{g} \in V$はリース表現定理によりそれぞれ$f, g \in V^{\ast}$に対応するベクトルである。
説明
定義$(2)$は$(1)$によって再度次のように表現可能である。
$$ \braket{f, g}_{V^{\ast}} = \braket{\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{g}}_{V} = g(\mathbf{v}_{f}) = \overline{f(\mathbf{v}_{g})} $$
内積が与えられると、そこから自然にノルムが定義される。 双対空間$V^{\ast}$のノルムは次のようになる。
$$ \| f \|_{V^{\ast}} = \sqrt{\braket{f, f}_{V^{\ast}}} = \sqrt{\braket{\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{f}}_{V}} = \| \mathbf{v}_{f} \|_{V} $$