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双対空間の内積 📂ヒルベルト空間

双対空間の内積

導入

ベクトル空間 VVに対して、(V,⟨⋅,⋅⟩V)(V, \braket{\cdot, \cdot}_{V})をヒルベルト空間とする。V∗V^{\ast}をVVの双対空間とする。リース表現定理によれば任意のf∈V∗f \in V^{\ast}は唯一のvf∈V\mathbf{v}_{f} \in Vについて次のように表現される。

f=⟨⋅,vf⟩V;f(x)=⟨x,vf⟩V(1) f = \braket{\cdot, \mathbf{v}_{f}}_{V}; \quad f(\mathbf{x}) = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{v}_{f}}_{V} \tag{1}

すなわち、f∈V∗f \in V^{\ast}とvf∈V\mathbf{v}_{f} \in Vは一対一対応である。VVにはすでに内積がよく定義されており、f,g∈V∗f, g \in V^{\ast}はVVに唯一対応する要素があるので、V∗V^{\ast}の内積を以下のように自然に定義することができる。

定義

ヒルベルト空間(V,⟨⋅,⋅⟩V)(V, \braket{\cdot, \cdot}_{V})の双対空間V∗V^{\ast}の内積を以下のように定義する。

⟨f,g⟩V∗:=⟨vf,vg⟩V,f,g∈V∗(2) \braket{f, g}_{V^{\ast}} := \braket{\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{g}}_{V} , \qquad f, g \in V^{\ast} \tag{2}

このとき、vf,vg∈V\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{g} \in Vはリース表現定理によりそれぞれf,g∈V∗f, g \in V^{\ast}に対応するベクトルである。

説明

定義(2)(2)は(1)(1)によって再度次のように表現可能である。

⟨f,g⟩V∗=⟨vf,vg⟩V=g(vf)=f(vg)‾ \braket{f, g}_{V^{\ast}} = \braket{\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{g}}_{V} = g(\mathbf{v}_{f}) = \overline{f(\mathbf{v}_{g})}

内積が与えられると、そこから自然にノルムが定義される。 双対空間V∗V^{\ast}のノルムは次のようになる。

∥f∥V∗=⟨f,f⟩V∗=⟨vf,vf⟩V=∥vf∥V \| f \|_{V^{\ast}} = \sqrt{\braket{f, f}_{V^{\ast}}} = \sqrt{\braket{\mathbf{v}_{f}, \mathbf{v}_{f}}_{V}} = \| \mathbf{v}_{f} \|_{V}