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ポアソン方程式の基本解 📂偏微分方程式

ポアソン方程式の基本解

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ラプラス方程式の基本解

xRnx \in \mathbb{R}^{n}であり、x0x \ne 0に対して、以下の関数Φ\Phiをラプラス方程式の基本解と定義する。

Φ(x):={12πlogxn=21n(n2)α(n)1xn2n3 \Phi (x) := \begin{cases} -\frac{1}{2\pi}\log |x| & n=2 \\ \frac{1}{n(n-2)\alpha (n)} \frac{1}{|x|^{n-2}} & n \ge 3 \end{cases}

xΦ(x)x \mapsto \Phi (x)のようにマッピングする関数を考えよう。これはx0x \ne 0の場所でハーモニックである。原点を00からyRny\in \mathbb{R}^{n}に対称移動したとする。すると、関数xΦ(xy)x \mapsto \Phi (x-y)xyx\ne yの場所でハーモニックである。今、任意の関数f:RnRf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}が与えられたとする。すると、次の関数は、ffyyに対する関数であるため、依然として変数xxに対してハーモニックである。

xΦ(xy)f(y) x \mapsto \Phi (x-y)f(y)

それで各ykRny_{k}\in \mathbb{R}^{n}に対して上記の関数がハーモニックであるため、これらを全部足しても依然としてハーモニックである。

xk=1NΦ(xyk)f(yk) is harmonic in Rn{y1,,yN} x \mapsto \sum _{k=1}^{N}\Phi (x-y_{k})f(y_{k})\text{ is harmonic in } \mathbb{R}^{n}\setminus \left\{ y_{1},\dots,y_{N} \right\}

ここからNNを増やすセンスで関数uuを次のように定義しよう。

定義

Φ\Phiをラプラス方程式の基本解としよう。すると、次のように定義されるuuポアソン方程式の基本解と呼ぶ。

u(x)=RnΦ(xy)f(y)dy=Φf(x)={12πR2log(xy)f(y)dy(n=2)1n(n2)α(n)Rnf(y)xyn2dy(n3) \begin{equation} \begin{aligned} u(x) &= \int_{\mathbb{R}^n} \Phi (x-y) f(y)dy = \Phi \ast f (x) \\ &= \begin{cases} \displaystyle -\dfrac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}^2} \log (|x-y|) f(y) dy & (n=2) \\ \displaystyle \dfrac{1}{n(n-2)\alpha (n) }\int_{\mathbb{R}^n} \dfrac{f(y)}{|x-y|^{n-2}}dy & (n \ge 3) \end{cases} \end{aligned} \end{equation}

この時\ast畳み込みを意味する。

説明

Δu=f \begin{equation} \Delta u = f \end{equation}

これで、私たちはuuポアソン方程式(2)(2)を満たすことを期待する。ffに適切な条件が与えられれば、uuが上手く定義され、ポアソン方程式も満たすことがわかる。その条件は、ffコンパクトサポートを持ちながら、2回連続的に微分可能なことである。

fCc2 f \in C^{2}_{c}

  • よく定義される

    fCc(Rn)f \in C_{c}(\mathbb{R}^n)としよう。すると、以下を満たす開いたボールB(x,rx)B(x,r_{x})が存在する。

    suppfB(x,rx),rx>0 \text{supp}f \subset B(x, r_{x}),\quad r_{x}>0

    次の計算でuuがよく定義されていることがわかる。

    u(x)RnΦ(xy)f(y)dy=B(x,rx)Φ(xy)f(y)dymaxfB(x,rx)Φ(xy)dy=maxfB(0,rx)Φ(y)dy< \begin{align*} \left| u(x) \right| &\le \int_{ \mathbb{R}^{n} } \left| \Phi (x-y) \right| \left| f(y) \right| dy \\ &= \int_{ B(x, r_{x}) } \left| \Phi (x-y) \right| \left| f(y) \right| dy \\ &\le \max \left| f \right| \int_{ B(x, r_{x}) } \left| \Phi (x-y) \right| dy \\ &= \max \left| f \right| \int_{ B(0, r_{x}) } \left| \Phi (y) \right| dy < \infty \end{align*}

定理

fCc2(Rn)f \in C^{2}_{c}(\mathbb{R}^{n})としよう。uu(1)(1)でのようだとする。すると、次が成り立つ。

(i)\text{(i)} uC2(Rn)u\in C^2 (\mathbb{R}^n)

(ii)\text{(ii)} Δu=f in Rn-\Delta u=f\quad \text{ in } \mathbb{R}^n

証明

(i)\text{(i)}

固定されたxRnx \in \mathbb{R}^nが与えられており0hR0 \ne h \in \mathbb{R}i{1,,n}i\in \left\{ 1,\cdots,n\right\}とする。すると、次が成り立つ。

u(x+hei)u(x)h=RnΦ(y)f(x+heiy)f(xy)hdy \dfrac{u(x+he_{i})-u(x) }{h} =\int_{\mathbb{R}^n} \Phi (y)\dfrac{f(x+he_{i}-y) -f(x-y)}{h}dy

この時ei=(0,,1,,0)e_{i}=(0,\cdots ,1,\cdots, 0)ii番目の成分だけが11で、他の成分は00のベクトルである。すると、ffが微分可能であるため、平均値の定理(MVT)により、任意のyRny \in \mathbb{R}^nh(0,h)h^{\prime} \in (0,h)に対して次が成り立つ。

f(x+heiy)f(xy)h=fxi(x+heiy) \dfrac{f(x+he_{i}-y) - f(x-y)}{h}=f_{x_{i}}(x+h^{\prime}e_{i}-y)

仮定によりfxiCc1(Rn)f_{x_{i}} \in C_{c}^1 (\mathbb{R}^n)であり、コンパクト空間で連続な関数は一様連続であるため、fxif_{x_{i}}Rn\mathbb{R}^n一様連続である。従って、与えられたϵ>0\epsilon >0に対してzw<δ    fxi(z)fxi(w)<ϵ|z-w|<\delta \implies |f_{x_{i}}(z)-f_{x_{i}}(w)|<\epsilonを満たすδ>0\delta >0が存在する。もし0<h<δ0<|h|<\deltaならば、全てのyRny\in \mathbb{R}^nに対して次が成り立つ。

(x+heiy)(xy)=h<h<δ |(x+h^{\prime}e_{i}-y)-(x-y)|=|h^{\prime}|<|h|<\delta

したがって、次が成り立つ。

(x+heiy)(xy)=h<h<δ    fxi(x+heiy)fxi(xy)<ϵ    supyRnf(x+heiy)f(xy)hfxi(xy)<ϵ \begin{align*} &&|(x+h^{\prime}e_{i}-y)-(x-y)|=|h^{\prime}|<|h| &< \delta \\ \implies && |f_{x_{i}}(x+h^{\prime}e_{i}-y)-f_{x_{i}}(x-y)| &< \epsilon \\ \implies && \sup \limits_{y\in \mathbb{R}^n} \left| \dfrac{ f(x+he_{i}-y)-f(x-y)}{h}-f_{x_{i}}(x-y) \right| &< \epsilon \end{align*}

それゆえ、次が成り立つ。

f(x+heiy)f(xy)hfxi(xy)ash0 \dfrac{f(x+he_{i}-y) - f(x-y)}{h} \rightrightarrows f_{x_{i}}(x-y)\quad \mathrm{as}\quad h\rightarrow 0

したがって、次を得る。

uxi(x)=limh0u(x+hei)u(x)h=RnΦ(x)fxi(xy)dy(i=1,,) \begin{align*} u_{x_{i}}(x) &= \lim \limits_{h \rightarrow 0}\dfrac{ u(x+he_{i})-u(x)}{h} \\ &= \int_{\mathbb{R}^n} \Phi (x) f_{x_{i}}(x-y)dy \quad (i=1,\cdots, ) \end{align*}

同じ方式で、次が成り立つ。

uxixj(x)=limh0uxi(x+hej)uxi(x)h=RnΦ(x)fxixj(xy)dy(i,j=1,,) \begin{align*} u_{x_{i}x_{j}}(x) &= \lim \limits_{h \rightarrow 0}\dfrac{ u_{x_{i}}(x+he_{j})-u_{x_{i}}(x)}{h} \\ &= \int_{\mathbb{R}^n} \Phi (x) f_{x_{i}x_{j}}(x-y)dy \quad (i,j=1,\cdots, ) \end{align*}


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p 22-23 ↩︎