ポアソン方程式の基本解
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ラプラス方程式の基本解
x∈Rnであり、x=0に対して、以下の関数Φをラプラス方程式の基本解と定義する。
Φ(x):={−2π1log∣x∣n(n−2)α(n)1∣x∣n−21n=2n≥3
x↦Φ(x)のようにマッピングする関数を考えよう。これはx=0の場所でハーモニックである。原点を0からy∈Rnに対称移動したとする。すると、関数x↦Φ(x−y)はx=yの場所でハーモニックである。今、任意の関数f:Rn→Rが与えられたとする。すると、次の関数は、fがyに対する関数であるため、依然として変数xに対してハーモニックである。
x↦Φ(x−y)f(y)
それで各yk∈Rnに対して上記の関数がハーモニックであるため、これらを全部足しても依然としてハーモニックである。
x↦k=1∑NΦ(x−yk)f(yk) is harmonic in Rn∖{y1,…,yN}
ここからNを増やすセンスで関数uを次のように定義しよう。
定義
Φをラプラス方程式の基本解としよう。すると、次のように定義されるuをポアソン方程式の基本解と呼ぶ。
u(x)=∫RnΦ(x−y)f(y)dy=Φ∗f(x)=⎩⎨⎧−2π1∫R2log(∣x−y∣)f(y)dyn(n−2)α(n)1∫Rn∣x−y∣n−2f(y)dy(n=2)(n≥3)
この時∗は畳み込みを意味する。
説明
Δu=f
これで、私たちはuがポアソン方程式(2)を満たすことを期待する。fに適切な条件が与えられれば、uが上手く定義され、ポアソン方程式も満たすことがわかる。その条件は、fがコンパクトサポートを持ちながら、2回連続的に微分可能なことである。
f∈Cc2
よく定義される
f∈Cc(Rn)としよう。すると、以下を満たす開いたボールB(x,rx)が存在する。
suppf⊂B(x,rx),rx>0
次の計算でuがよく定義されていることがわかる。
∣u(x)∣≤∫Rn∣Φ(x−y)∣∣f(y)∣dy=∫B(x,rx)∣Φ(x−y)∣∣f(y)∣dy≤max∣f∣∫B(x,rx)∣Φ(x−y)∣dy=max∣f∣∫B(0,rx)∣Φ(y)∣dy<∞
定理
f∈Cc2(Rn)としよう。uが(1)でのようだとする。すると、次が成り立つ。
(i) u∈C2(Rn)
(ii) −Δu=f in Rn
証明
(i)
固定されたx∈Rnが与えられており0=h∈R、i∈{1,⋯,n}とする。すると、次が成り立つ。
hu(x+hei)−u(x)=∫RnΦ(y)hf(x+hei−y)−f(x−y)dy
この時ei=(0,⋯,1,⋯,0)はi番目の成分だけが1で、他の成分は0のベクトルである。すると、fが微分可能であるため、平均値の定理(MVT)により、任意のy∈Rnとh′∈(0,h)に対して次が成り立つ。
hf(x+hei−y)−f(x−y)=fxi(x+h′ei−y)
仮定によりfxi∈Cc1(Rn)であり、コンパクト空間で連続な関数は一様連続であるため、fxiはRnで一様連続である。従って、与えられたϵ>0に対して∣z−w∣<δ⟹∣fxi(z)−fxi(w)∣<ϵを満たすδ>0が存在する。もし0<∣h∣<δならば、全てのy∈Rnに対して次が成り立つ。
∣(x+h′ei−y)−(x−y)∣=∣h′∣<∣h∣<δ
したがって、次が成り立つ。
⟹⟹∣(x+h′ei−y)−(x−y)∣=∣h′∣<∣h∣∣fxi(x+h′ei−y)−fxi(x−y)∣y∈Rnsuphf(x+hei−y)−f(x−y)−fxi(x−y)<δ<ϵ<ϵ
それゆえ、次が成り立つ。
hf(x+hei−y)−f(x−y)⇉fxi(x−y)ash→0
したがって、次を得る。
uxi(x)=h→0limhu(x+hei)−u(x)=∫RnΦ(x)fxi(x−y)dy(i=1,⋯,)
同じ方式で、次が成り立つ。
uxixj(x)=h→0limhuxi(x+hej)−uxi(x)=∫RnΦ(x)fxixj(x−y)dy(i,j=1,⋯,)
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