偏微分方程式

基礎

• 偏微分方程式とは
  • 双曲型偏微分方程式
  • 放物型偏微分方程式
  • 楕円型偏微分方程式
• 微分演算子とシンボル
• 微分方程式の基本解、グリーン関数
• マルチインデックス表記法
• 境界の滑らかさ
• 外向き単位法線ベクトル
• グリーン-ガウスの定理、部分積分公式
• グリーンの公式
• モリファイア
• モリフィケーション
  • モリフィケーションの収束
• 境界値問題(BVP)
  • ディリクレ境界条件
  • ノイマン境界条件
  • ロビン境界条件
• コーシー問題、初期値問題(IVP)

線形偏微分方程式

• 定常波偏微分方程式の解
• 一様進行波偏微分方程式の解
• 非一様進行波偏微分方程式の解

輸送方程式

• 輸送方程式
• 初期値問題と非同次問題

ラプラス方程式

• ラプラス方程式とポアソン方程式
• 直交変換に対する不変性
• ラプラス方程式の基本解
• 平均値公式
• 調和関数の性質
  • 最大値原理
  • スムージング効果

球座標系

• 径方向成分の一般解
• 極角、方位角成分の一般解：球面調和関数
• 一般解

ポアソン方程式

• 基本解
• ディリクレ問題の解の一意性

熱方程式

• 熱方程式
• フーリエ級数
• 熱方程式の解
• ディリクレ境界条件が与えられた熱方程式の初期値問題の解

波動方程式

• 波動方程式
• 波動方程式に対するコーシー問題の解
  • 1次元ダランベールの公式
• ディリクレ境界条件が与えられた波動方程式の初期値問題の解
• 初期条件が$0$の波動方程式の解

ヘルムホルツ方程式

• ヘルムホルツ方程式

非線形偏微分方程式

非線形1階偏微分方程式

• 表記法
• 特性方程式
• 特性方程式を利用した解法
• 境界の直線化

バーガース方程式

• 粘性項なしバーガース方程式の解
• 粘性項なしバーガース方程式における質量保存の法則
• ランキン-ユゴニオ条件とエントロピー条件
• バーガース方程式に対するリーマン問題の解

ハミルトン-ヤコビ方程式

• ラグランジアンとオイラー-ラグランジュ方程式
• ハミルトン-ヤコビ方程式とハミルトン方程式
• 変分法とオイラー-ラグランジュ方程式から導かれるハミルトン方程式
• ルジャンドル変換
• ハミルトニアンとラグランジアンの凸双対性
• ホップ-ラックス公式
  • ホップ-ラックス公式はハミルトン-ヤコビ方程式を満たす

主要参考文献

• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010)