フーリエ級数を用いた偏微分方程式の解法
定義
ヒルベルト空間の関数 $f \in \mathcal{L}^{2} [- \pi , \pi] $ について $\displaystyle a_{k} = {{1} \over {\pi}} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \cos kx dx$ そして $\displaystyle b_{k} = {{1} \over {\pi}} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin kx dx$ について
$$ f(x) \sim {{a_{0}} \over {2}} + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k} \cos kx + b_{x} \sin kx \right) $$
を $f$ のフーリエ級数fourier seriesと言う。
説明
テイラー級数がある関数を多項式で近似するのと違って、フーリエ級数は三角多項式で近似する。このように複雑な形をしたフーリエ級数は、従来のテイラー級数ではアプローチが難しい様々な関数に適用できるため、便利だ。しかし、フーリエ級数が収束するかについての保証はなく、収束することを示せたとしても正確に$f$に収束するかは別の問題だ。学部レベルの偏微分方程式の解法のため、このような問題はいったん置いておくが、この欠陥については知っておく必要がある。
便宜上、これからは$\sim$の代わりに$=$を使用することにする。なぜフーリエ級数をよりによってあのような形で定義するのかを一度見てみよう。$\mathcal{L}^2$は$\mathcal{L}^{p}$で$p=2$の場合であるので、$f,g : [-\pi, \pi] \to \mathbb{R}$に対して次のように内積とノルムを定義できる。
$$ \left< f, g \right> := {{1} \over{\pi}} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x) dx \left\| f \right\| : = \left< f, f \right> := \sqrt{ {{1} \over{\pi}} \int_{-\pi}^{\pi} \left| f(x) \right| ^2 dx } $$
奇関数$\sin k x$と偶関数$\cos k x$は$k \ne l$に対して$\displaystyle \left< \cos kx , \cos lx \right> = \left< \sin kx , \cos lx \right> = 0$だ。もちろん$k = l$に対しても$\displaystyle \left< \cos lx , \sin lx \right> = \left< \sin lx , \cos lx \right> = 0$だ。三角関数同士の内積で$0$にならない場合は$\displaystyle \left< \cos lx , \cos lx \right> \ne 0 \ne \left< \sin lx , \sin lx \right>$だけだ。
以上の事実を利用して$\left< f, \cos lx \right> f$を計算してみると、内積の線形性により
$$ \left< f, \cos lx \right> = {{a_{0}} \over {2}} \left< 1 , \cos lx \right> + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k} \left< \cos kx , \cos lx \right> + b_{x} \left< \sin kx , \cos lx \right> \right) = a_{l} $$
を得る。同様に$\left< f , \sin lx \right> = b_{l}$を得ることができ、
$$ \left< f , 1 \right> = {{a_{0}} \over {2}} \left< 1, 1 \right> = {{a_{0}} \over {2}} \left\| 1 \right\| ^2 = {{a_{0}} \over {2}} $$
だ。
$f$を三角多項式で近似することは、$f$を三角関数のベクトル空間へ射影することだ。線形代数の観点から各項について考えると、その形は$\left< f(x) , \cos nx \right> \cos nx$あるいは$\left< f(x) , \sin nx \right> \sin nx$であり、関数$f$を基底$\left\{ \cos nx , \sin nx \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$へ射影したものと見なせる。
偶関数と奇関数の性質を利用すれば、これだけでなく、以下の公式を通じて計算量を大幅に削減できる。
$f \in \mathcal{L}^{2} [-\pi , \pi ]$が偶関数なら$\displaystyle a_{k} = {{2} \over {\pi}} \int_{0} \pi f(x) \cos kx dx$に対して
$$ f(x) \sim {{a_{0 } } \over {2 }} + \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \cos kx $$
$f \in \mathcal{L}^{2} [-\pi , \pi ]$が奇関数なら$\displaystyle b_{k} = {{2} \over {\pi}} \int_{0} \pi f(x) \sin kx dx$に対して
$$ f(x) \sim \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} \sin kx $$
一方、$f,g : [-\pi, \pi] \to \mathbb{C}$に対して次のような定義を導入すると、複素数への一般化が可能だ。
$$ \left< f, g \right> := {{1} \over{2 \pi}} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \overline{ g(x) } dx $$
$$ \left\| f \right\| : = \left< f, f \right> := \sqrt{ {{1} \over{2 \pi}} \int_{-\pi}^{\pi} \left| f(x) \right| ^2 dx } $$
$$ f(x) \sim \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{k} e^{ikx} = \cdots +c_{-2}e^{-i 2 x } + c_{-1}e^{-i x } + c_{0} +c_{1}e^{i x } + c_{2}e^{i 2 x } + \cdots $$
$$ c_{k} = \left<f , e^{ikx} \right> = {{1} \over {2 \pi}} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-ikx} dx $$
オイラーの公式から$\displaystyle \cos kx = {{e^{ikx} + e^{-ikx} } \over {2}}$そして$\displaystyle \sin kx = {{e^{ikx} - e^{-ikx} } \over {2i}}$であるため、
$$ \begin{align*} c_{k} + c_{-k} =& {{1 } \over {2 \pi }} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \left(e^{ikx} + e^{-ikx} \right) dx \\ =& {{1 } \over { 2 \pi }} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot 2 \cos kx dx \\ =& {{1 } \over { \pi }} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos kx dx \\ =& a_{k} \end{align*} $$
同様に$b_{k} = i (c_{k} - c_{-k})$を得ることができる。
したがって、一見標準化定数が変わったように見えるが、実際は$f,g : [-\pi, \pi] \to \mathbb{R}$をきちんとカバーしていることがわかる。ご覧の通り、これらの技術を大まかにでも理解するためには、線形代数学、複素解析学、実解析学などの背景知識が必要だ。