📂偏微分方程式

ランキン・ユゴニオ条件とエントロピー条件

定義

$$ \begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases} $$

上の非粘性バーガース方程式の解を$u$とし、その破裂時間を$t_{\ast}$とする。

非粘性バーガース方程式の解が破裂するとき、上のように左と右の面積が等しくなるような線分でつなぐ。このように物理的に解釈できるよう解を調整することを等積律^{equal area rule}という。

説明

このように生じる不連続点の位置を$\sigma (t)$とすると

$$ \begin{cases} \displaystyle u^{+} (t) := \lim_{x \to \sigma (t)^{+}} u(t,x) \\ \displaystyle u^{-} (t) := \lim_{x \to \sigma (t)^{-}} u(t,x)\end{cases} $$

であり、次の条件を満たす。

1. ランキン・ユゴニオ条件^{rankine-Hugoniot condition}: $\displaystyle \sigma ' (t) = {{d} \over {dt}} \sigma (t) = {{u^{+}(t) + u^{-}(t) } \over {2}}$
2. エントロピー条件^{entropy condition}: $u^{+} (t) \le \sigma '(t) \le u^{-} (t)$

かみ砕いて言えば、1. は破裂位置の移動時間が左極限と右極限の平均で表されるということだ。

**2.**はある意味当然であり、そもそも$u^{+} (t) \le u^{-} (t)$でなかったならば破裂そのものが起こらなかったはずだからだ。1. は$u$が解であることと必要十分条件であり、解がこの条件を満たさなければ、そもそも間違って求めたことが確認できる。