📂解析学

関数の値の平均

定義

$[a,\ b]$から$f(x)$の平均値は区間に対して積分した後、区間の長さで割ることと同じだ。

$$\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^bf(x)dx$$

導出

区間$[a,\ b]$の分割を$P$としよう。

$$P=\left\{ x_{1},\ x_{2},\ \cdots ,\ x_{n} \right\}$$

この時、$a=x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n}=b$であり、各点の間の距離は等しい。そして、$\Delta x=x_{i+1}-x_{i}$。$f(x_{i})$の合計を$n$で割って$f(x)$の平均値を推定しようとする。

$$\dfrac{ f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots +f(x_{n}) } {n}$$

これは$n$が大きくなるほど、関数の値の平均に近づくということだ。分子と分母に$\Delta x$を掛けると以下のようになる。

$$\dfrac{\Big( f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots +f(x_{n}) \Big)\Delta x} {n \Delta x}$$

$n\Delta x=b-a$なので次のようになる。

$$\dfrac{\Big( f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots +f(x_{n}) \Big)\Delta x} {b-a}$$

$n \rightarrow \infty$であり、$\Delta x \rightarrow 0$の極限を取れば分子は$\int_{a}^bf(x)dx$となる。

$$\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^bf(x)dx$$

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例

三角関数の一周期の平均は$0$だ。

• コサイン関数

  $\cos (kx)$の一周期の平均を求めてみると次の通り。 $$\int_{0}^\frac{2\pi}{k} \cos(kx)dx = \dfrac{1}{k}\left[ \sin(kx)\right]_{0}^{\frac{2\pi}{k}} =\dfrac{1}{k}(\sin 2\pi -\sin 0 ) =0$$

• サイン関数

  $\sin (kx)$の一周期の平均を求めてみると次の通り。 $$\int_{0}^\frac{2\pi}{k} \sin(kx)dx = \dfrac{-1}{k}\left[ \cos(kx)\right]_{0}^{\frac{2\pi}{k}} =\dfrac{-1}{k}(\cos 2\pi -\cos 0 ) =0$$

参考

• 積分の平均値の定理