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ガロア体 📂抽象代数

ガロア体

定理 1

素数 pp と 自然数 nn に対して、基数が pnp^{n} の 有限 体有限体を pnp^{n} 次のガロア体ガロア体と定義し、GF(pn)\text{GF} \left( p^{n} \right) のように表す。有限体はガロア体だけであり、与えられた pp と nn に対してガロア体は唯一に存在する。

  • ここで「唯一である」とは、異なる体であっても同型写像が存在し、実質的に同一の体であるという意味である。

説明

ガウスが最初に有限体の概念を思いついたときは、その実体を信じる人はいなかったが、現在では有限体が存在するだけでなく、その具体的な形まで明らかにされている。すべての有限体の形が解明されたので、無駄な研究をする必要はない。

例えば、元が 1010 個の体が存在するかどうかは、考える必要さえなく、GF(p)=Zp\text{GF} \left( p \right) = \mathbb{Z}_{p} は整数環であるため、すでに多くのことがわかっている。さらに知りたいことがあれば、抽象的な定義に固執する必要はなく、Zp\mathbb{Z}_{p} を通じてアプローチすればよく、その逆もまた然りである。

証明 2

パート1. すべての有限体はガロア体である。

体 FF の有限拡大体を EE とし、FF 上の 次数を n:=[E:F]n := \left[ E : F \right] とする。

∣F∣=q| F | = q とすると、EE は FF の nn 次のベクトル空間であるため、∣E∣=qn|E| = q^{n} である。体は単位元を持つが、標数が 00 であれば Z\mathbb{Z} と同型の部分環が存在して無限体となる。したがって、有限体の標数は有限の自然数でなければならない。有限体 EE の標数を p≠0p \ne 0 とすると、EE は単位元 11 を持つため、p⋅1=0p \cdot 1 = 0 でなければならない。体は整域であるため、 p⋅1=(p1⋅1)(p2⋅1)=0 p \cdot 1 = ( p_{1} \cdot 1 ) ( p_{2} \cdot 1 ) = 0 を満たす p1,p2∈Zp_{1}, p_{2} \in \mathbb{Z} が存在することはなく、pp は必ず素数である。したがって、EE は素体 Zp\mathbb{Z}_{p} と同型の部分体を持ち、∣Zp∣=p\left| \mathbb{Z}_{p} \right| = p であるため、∣E∣=pn|E| = p^{n} である。

パート2. ガロア体の存在

パート2-1. xpn−xx^{p^{n}} - x のゼロ

(xpn−x)\left( x^{p^{n}} - x \right) の標数が pp の体 FF の代数的閉包 F‾\overline{F} を考える。

F‾\overline{F} は代数的に閉じているため、(xpn−x)∈F‾[x]\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \overline{F} [ x ] は 11 次の項で因数分解される。すぐにわかる事実は xpn−x=(x−0)(xpn−1−1) x^{p^{n}} - x = ( x - 0 ) \left( x^{p^{n}-1} - 1 \right) であるため、00 は (xpn−x)\left( x^{p^{n}} - x \right) のゼロになる。f(x):=xpn−1−1f(x) := x^{p^{n}-1} - 1 の別のゼロ α≠0\alpha \ne 0 を考えると、 f(α)=0f \left( \alpha \right) = 0 であるため、 0=f(α)=αpn−1−1  ⟹  αpn−1=1 0 = f \left( \alpha \right) = \alpha^{p^{n} - 1} - 1 \implies \alpha^{p^{n} - 1} = 1 となり、これにより f(x)f(x) を (x−α)\left( x - \alpha \right) の積として表すと、 f(x)=xpn−1−1=xpn−1−αpn−1=(x−α)(xpn−2+αxpn−3+⋯+αpn−3x+αpn−2) \begin{align*} f(x) =& x^{p^{n}-1} - 1 \\ =& x^{p^{n}-1} - \alpha^{p^{n}-1} \\ =& (x - \alpha ) \left( x^{p^{n} - 2 } + \alpha x^{p^{n} - 3 } + \cdots + \alpha^{p^{n} - 3 } x + \alpha^{p^{n} - 2} \right) \end{align*} である。一方、便宜上第二の因数を、 g(x):=(xpn−2+αxpn−3+⋯+αpn−3x+αpn−2) g(x) := \left( x^{p^{n} - 2 } + \alpha x^{p^{n} - 3 } + \cdots + \alpha^{p^{n} - 3 } x + \alpha^{p^{n} - 2} \right) とすると、g(x)g(x) の項の数は pn−1p^{n} - 1 個である。したがって、x=αx = \alpha を代入してみると、 g(α)=αpn−2⋅(pn−1)=αpn−1α(pn−1) g ( \alpha ) = \alpha^{p^{n} - 2} \cdot \left( p^{n} - 1 \right) = {{\alpha^{p^{n} - 1}} \over { \alpha }} \left( p^{n} - 1 \right) を得る。上記で α≠0\alpha \ne 0 は f(x)f(x) のゼロであるため、αpn−1−1=0\alpha^{p^{n}-1} - 1 = 0 としたし、標数を素数 pp と仮定したので、 g(α)=1α⋅(0−1)=−1α≠0 g ( \alpha ) = {{1} \over { \alpha }} \cdot (0 - 1) = - {{1} \over { \alpha }} \ne 0 である。したがって、α\alpha は f(x)=0f(x) = 0 の重根ではなく、これは α\alpha 以外の他のゼロにも当てはまる。結局、(xpn−x)\left( x^{p^{n}} - x \right) は正確に pnp^{n} 個の異なるゼロを持つ。

パート2-2. 新入生の夢

一方で、α,β∈F\alpha , \beta \in F に対して (α+β)p\left( \alpha + \beta \right)^{p} を計算すると、二項定理により、 (α+β)p=∑k=1p(pk)αkβp−k=αp+∑k=2p−1p!(p−k)!(k)!αkβp−k+βp=αp+βp+p∑k=2p−1(p−1)!(p−k)!(k)!αkβp−k \begin{align*} \left( \alpha + \beta \right)^{p} =& \sum_{k=1}^{p} \binom{p}{k} \alpha^{k} \beta^{p - k} \\ =& \alpha^{p} + \sum_{k=2}^{p-1} {{p!} \over { ( p - k )! ( k )! }} \alpha^{k} \beta^{p - k} + \beta^{p} \\ =& \alpha^{p} + \beta^{p} + p \sum_{k=2}^{p-1} {{ ( p - 1 )! } \over { ( p - k )! ( k )! }} \alpha^{k} \beta^{p - k} \end{align*} FF の標数が pp であるため、最後の項は 00 となり、したがって、 (α+β)p=αp+βp \left( \alpha + \beta \right)^{p} = \alpha^{p} + \beta^{p} もう一度両辺に pp 乗をすると、 ((α+β)p)p=(αp)p+(βp)p \left( \left( \alpha + \beta \right)^{p} \right)^{p} = \left( \alpha^{p} \right)^{p} + \left( \beta^{p} \right)^{p} 整理すると (α+β)p2=αp2+βp2\left( \alpha + \beta \right)^{p^{2}} =\alpha^{p^2} + \beta^{p^2} であり、これを nn 回繰り返すと、次を得る。 (α+β)pn=αpn+βpn \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n}

今度は Zp\mathbb{Z}_{p} の代数的閉包 Zp‾\overline{ \mathbb{Z}_{p} } を考える。

(xpn−x)∈Zp‾[x]\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \overline{ \mathbb{Z}_{p} } [ x ] のゼロをすべて集めた集合を K⊂Zp‾K \subset \overline{ \mathbb{Z}_{p} } 、その元を α,β∈K\alpha , \beta \in K とする。

パート2-3. KK はガロア体である。

  • (i) 加算に対する閉包: {αpn−α=0βpn−β=0 \begin{cases} \alpha^{p^{n}} - \alpha = 0 \\ \beta^{p^{n}} - \beta = 0 \end{cases} である。両辺を加えると、パート2-2 (α+β)pn=αpn+βpn\left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} により、 (αpn+βpn)−(α+β)=(α+β)pn−(α+β)=0 \left( \alpha^{p^{n}} + \beta^{p^{n}} \right) - ( \alpha + \beta ) = \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} - ( \alpha + \beta ) = 0 であるため、(α+β)∈K( \alpha + \beta ) \in K である。
  • (ii) 加算に対する単位元: 0pn−0=00^{p^{n}} - 0 = 0 であるため、0∈K0 \in K である。
  • (iii) 加算に対する逆元: (−α)pn=(−1)pn(α)pn=(−1)pnα\left( - \alpha \right)^{p^{n}} = \left( - 1 \right)^{^{p^{n}}} \left( \alpha \right)^{p^{n}} = \left( - 1 \right)^{^{p^{n}}} \alpha である。
    • p=2p=2 の場合、−1=1-1 = 1 であるため、(−α)=α∈K\left( -\alpha \right) = \alpha \in K である。
    • p≠2p \ne 2 は奇数の素数であるため、(−α)pn−(−α)=0\left( - \alpha \right)^{p^{n}} - ( - \alpha ) = 0、つまり (−α)∈K( - \alpha ) \in K である。
  • (iv) 乗算に対する閉包: (αβ)pn=αpnβpn=αβ\left( \alpha \beta \right)^{p^{n}} = \alpha^{p^{n}} \beta^{p^{n}} = \alpha \beta であるため、(αβ)pn−αβ=0\left( \alpha \beta \right)^{p^{n}} - \alpha \beta = 0、すなわち αβ∈K\alpha \beta \in K である。
  • (v) 乗算に対する単位元: 1pn−1=01^{p^{n}} - 1 = 0 であるため、1∈K1 \in K である。
  • (vi) 乗算に対する逆元: α≠0\alpha \ne 0 に対して (α)pn=α\displaystyle \left( \alpha \right)^{p^{n}} = \alpha の逆数を取ると、1(α)pn=1α\displaystyle {{1} \over {\left( \alpha \right)^{p^{n}} }} = {{1} \over { \alpha }}、すなわち (1α)pn−1α=0 \left( {{1} \over { \alpha }} \right)^{p^{n}} - {{1} \over { \alpha }} = 0 であるため、α−1∈K\alpha^{-1} \in K である。
  • (vii): ∣K∣=pn| K | = p^{n} : Zp\mathbb{Z}_{p} の標数は pp であるため、パート2-1により (xpn−x)\left( x^{p^{n}} - x \right) は正確に pnp^{n} 個の異なるゼロを持つ。

したがって、KK は pnp^{n} 次のガロア体である。

パート3. ガロア体の一意性

パート1では、FF の標数は素数 pp であり、パート2-1では、FF の代数的閉包 F‾\overline{F} での演算が、FF の単位元 1F1_{F} を 1Zp1_{\mathbb{Z}_{p}} と見た場合、実際には Zp\mathbb{Z}_{p} の代数的閉包 Z‾p\overline{\mathbb{Z}}_{p} での演算と変わらないことを指摘しておく。

パート3-1. 基数が pnp^{n} の体 E⊂Z‾pE \subset \overline{\mathbb{Z}}_{p} の正体 3

ラグランジュの定理: HH が有限群 GG の部分群であれば、∣H∣|H| は ∣G∣|G| の約数である。

基数が pnp^{n} の体 (E,+,×)\left( E , + , \times \right) において、乗算 ×\times に対する群 (E∗,×)\left( E^{\ast} , \times \right) を考えると、E∗E^{\ast} は EE で ++ に対する単位元 0∈E0 \in E を除く pn−1p^{n} - 1 個の元と単位元 1∈E∗1 \in E^{\ast} を持つ。α∈E∗\alpha \in E^{\ast} のオーダーorder、つまり α\alpha によって生成される巡回群の基数である ∣α∣=∣<α>∣\left| \alpha \right| = \left| \left< \alpha \right> \right| はラグランジュの定理により pn−1p^{n} - 1 の約数であり、したがって、 αpn−1=1  ⟹  apn=α \alpha^{p^{n} - 1} = 1 \implies a^{p^{n}} = \alpha を得る。つまり、EE のすべての元は xpn−xx^{p^{n}} - x のゼロであり、代数学の基本定理により、Zp\mathbb{Z}_{p} の代数的閉包 Z‾p\overline{\mathbb{Z}}_{p} に含まれる基数が pnp^{n} の体 EE の元は正確に (xpn−x)∈Zp[x]\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \mathbb{Z}_{p} [x] のゼロである。

パート3-2. 最小分解体

パート2-1とパート3-1により、与えられた pp と nn に対して、すべての元が正確に (xpn−x)\left( x^{p^{n}} - x \right) のゼロで構成される体 EE が存在し、FF の標数が pp であることにより、その係数に対する演算も素体 Zp\mathbb{Z}_{p} での演算と同じであったことに注意せよ。パート2-3とパート1により、EE は素体 Zp\mathbb{Z}_{p} を素体として持ち、∣E∣=pn|E| = p^{n} を満たす必要があるガロア体であり、さらにパート2-1により、EE は (xpn−x)\left( x^{p^{n}} - x \right) の最小分解体であることがわかる。

最小分解体の性質: f(x)∈F[x]f(x) \in F [ x ] の最小分解体はすべて同型である。

最小分解体の性質により、与えられた pp と nn に対して、ガロア体は一意である。

■

補助定理: 新入生の夢

単に面白い事実として、パート2-2で登場した等式 (α+β)pn=αpn+βpn \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} を新入生の夢freshman’s Dreamと呼ぶ。学校に入ったばかりの新入生の立場からすると、累乗が括弧の中に入れば、複雑な展開なしにも難しい問題を解くことができるからである。ちなみに、数論では、標数に関する言及がなくても、同様の方法で合同式 (α+β)pn≡αpn+βpn(modp)\left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} \equiv \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} \pmod{ p } を導くことができる。

  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p300. ↩︎

  2. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p302~304. ↩︎

  3. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p301 ↩︎