📂抽象代数

ガロア体

定理 ¹

素数 $p$ と 自然数 $n$ に対して、基数が $p^{n}$ の 有限 体^有限体を $p^{n}$ 次のガロア体^ガロア体と定義し、$\text{GF} \left( p^{n} \right)$ のように表す。有限体はガロア体だけであり、与えられた $p$ と $n$ に対してガロア体は唯一に存在する。

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• ここで「唯一である」とは、異なる体であっても同型写像が存在し、実質的に同一の体であるという意味である。

説明

ガウスが最初に有限体の概念を思いついたときは、その実体を信じる人はいなかったが、現在では有限体が存在するだけでなく、その具体的な形まで明らかにされている。すべての有限体の形が解明されたので、無駄な研究をする必要はない。

例えば、元が $10$ 個の体が存在するかどうかは、考える必要さえなく、$\text{GF} \left( p \right) = \mathbb{Z}_{p}$ は整数環であるため、すでに多くのことがわかっている。さらに知りたいことがあれば、抽象的な定義に固執する必要はなく、$\mathbb{Z}_{p}$ を通じてアプローチすればよく、その逆もまた然りである。

証明 ²

パート1. すべての有限体はガロア体である。

体 $F$ の有限拡大体を $E$ とし、$F$ 上の 次数を $n := \left[ E : F \right]$ とする。

$| F | = q$ とすると、$E$ は $F$ の $n$ 次のベクトル空間であるため、$|E| = q^{n}$ である。体は単位元を持つが、標数が $0$ であれば $\mathbb{Z}$ と同型の部分環が存在して無限体となる。したがって、有限体の標数は有限の自然数でなければならない。有限体 $E$ の標数を $p \ne 0$ とすると、$E$ は単位元 $1$ を持つため、$p \cdot 1 = 0$ でなければならない。体は整域であるため、 $$ p \cdot 1 = ( p_{1} \cdot 1 ) ( p_{2} \cdot 1 ) = 0 $$ を満たす $p_{1}, p_{2} \in \mathbb{Z}$ が存在することはなく、$p$ は必ず素数である。したがって、$E$ は素体 $\mathbb{Z}_{p}$ と同型の部分体を持ち、$\left| \mathbb{Z}_{p} \right| = p$ であるため、$|E| = p^{n}$ である。

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パート2. ガロア体の存在

パート2-1. $x^{p^{n}} - x$ のゼロ

$\left( x^{p^{n}} - x \right)$ の標数が $p$ の体 $F$ の代数的閉包 $\overline{F}$ を考える。

$\overline{F}$ は代数的に閉じているため、$\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \overline{F} [ x ]$ は $1$ 次の項で因数分解される。すぐにわかる事実は $$ x^{p^{n}} - x = ( x - 0 ) \left( x^{p^{n}-1} - 1 \right) $$ であるため、$0$ は $\left( x^{p^{n}} - x \right)$ のゼロになる。$f(x) := x^{p^{n}-1} - 1$ の別のゼロ $\alpha \ne 0$ を考えると、 $f \left( \alpha \right) = 0$ であるため、 $$ 0 = f \left( \alpha \right) = \alpha^{p^{n} - 1} - 1 \implies \alpha^{p^{n} - 1} = 1 $$ となり、これにより $f(x)$ を $\left( x - \alpha \right)$ の積として表すと、 $$ \begin{align*} f(x) =& x^{p^{n}-1} - 1 \\ =& x^{p^{n}-1} - \alpha^{p^{n}-1} \\ =& (x - \alpha ) \left( x^{p^{n} - 2 } + \alpha x^{p^{n} - 3 } + \cdots + \alpha^{p^{n} - 3 } x + \alpha^{p^{n} - 2} \right) \end{align*} $$ である。一方、便宜上第二の因数を、 $$ g(x) := \left( x^{p^{n} - 2 } + \alpha x^{p^{n} - 3 } + \cdots + \alpha^{p^{n} - 3 } x + \alpha^{p^{n} - 2} \right) $$ とすると、$g(x)$ の項の数は $p^{n} - 1$ 個である。したがって、$x = \alpha$ を代入してみると、 $$ g ( \alpha ) = \alpha^{p^{n} - 2} \cdot \left( p^{n} - 1 \right) = {{\alpha^{p^{n} - 1}} \over { \alpha }} \left( p^{n} - 1 \right) $$ を得る。上記で $\alpha \ne 0$ は $f(x)$ のゼロであるため、$\alpha^{p^{n}-1} - 1 = 0$ としたし、標数を素数 $p$ と仮定したので、 $$ g ( \alpha ) = {{1} \over { \alpha }} \cdot (0 - 1) = - {{1} \over { \alpha }} \ne 0 $$ である。したがって、$\alpha$ は $f(x) = 0$ の重根ではなく、これは $\alpha$ 以外の他のゼロにも当てはまる。結局、$\left( x^{p^{n}} - x \right)$ は正確に $p^{n}$ 個の異なるゼロを持つ。

パート2-2. 新入生の夢

一方で、$\alpha , \beta \in F$ に対して $\left( \alpha + \beta \right)^{p}$ を計算すると、二項定理により、 $$ \begin{align*} \left( \alpha + \beta \right)^{p} =& \sum_{k=1}^{p} \binom{p}{k} \alpha^{k} \beta^{p - k} \\ =& \alpha^{p} + \sum_{k=2}^{p-1} {{p!} \over { ( p - k )! ( k )! }} \alpha^{k} \beta^{p - k} + \beta^{p} \\ =& \alpha^{p} + \beta^{p} + p \sum_{k=2}^{p-1} {{ ( p - 1 )! } \over { ( p - k )! ( k )! }} \alpha^{k} \beta^{p - k} \end{align*} $$ $F$ の標数が $p$ であるため、最後の項は $0$ となり、したがって、 $$ \left( \alpha + \beta \right)^{p} = \alpha^{p} + \beta^{p} $$ もう一度両辺に $p$ 乗をすると、 $$ \left( \left( \alpha + \beta \right)^{p} \right)^{p} = \left( \alpha^{p} \right)^{p} + \left( \beta^{p} \right)^{p} $$ 整理すると $\left( \alpha + \beta \right)^{p^{2}} =\alpha^{p^2} + \beta^{p^2}$ であり、これを $n$ 回繰り返すと、次を得る。 $$ \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} $$

今度は $\mathbb{Z}_{p}$ の代数的閉包 $\overline{ \mathbb{Z}_{p} }$ を考える。

$\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \overline{ \mathbb{Z}_{p} } [ x ]$ のゼロをすべて集めた集合を $K \subset \overline{ \mathbb{Z}_{p} } $、その元を $\alpha , \beta \in K$ とする。

パート2-3. $K$ はガロア体である。

• (i) 加算に対する閉包: $$ \begin{cases} \alpha^{p^{n}} - \alpha = 0 \\ \beta^{p^{n}} - \beta = 0 \end{cases} $$ である。両辺を加えると、パート2-2 $\left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n}$ により、 $$ \left( \alpha^{p^{n}} + \beta^{p^{n}} \right) - ( \alpha + \beta ) = \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} - ( \alpha + \beta ) = 0 $$ であるため、$( \alpha + \beta ) \in K$ である。
• (ii) 加算に対する単位元: $0^{p^{n}} - 0 = 0$ であるため、$0 \in K$ である。
• (iii) 加算に対する逆元: $\left( - \alpha \right)^{p^{n}} = \left( - 1 \right)^{^{p^{n}}} \left( \alpha \right)^{p^{n}} = \left( - 1 \right)^{^{p^{n}}} \alpha$ である。
  • $p=2$ の場合、$-1 = 1$ であるため、$\left( -\alpha \right) = \alpha \in K$ である。
  • $p \ne 2$ は奇数の素数であるため、$\left( - \alpha \right)^{p^{n}} - ( - \alpha ) = 0$、つまり $( - \alpha ) \in K$ である。
• (iv) 乗算に対する閉包: $\left( \alpha \beta \right)^{p^{n}} = \alpha^{p^{n}} \beta^{p^{n}} = \alpha \beta$ であるため、$\left( \alpha \beta \right)^{p^{n}} - \alpha \beta = 0$、すなわち $\alpha \beta \in K$ である。
• (v) 乗算に対する単位元: $1^{p^{n}} - 1 = 0$ であるため、$1 \in K$ である。
• (vi) 乗算に対する逆元: $\alpha \ne 0$ に対して $\displaystyle \left( \alpha \right)^{p^{n}} = \alpha$ の逆数を取ると、$\displaystyle {{1} \over {\left( \alpha \right)^{p^{n}} }} = {{1} \over { \alpha }}$、すなわち $$ \left( {{1} \over { \alpha }} \right)^{p^{n}} - {{1} \over { \alpha }} = 0 $$ であるため、$\alpha^{-1} \in K$ である。
• (vii): $| K | = p^{n}$ : $\mathbb{Z}_{p}$ の標数は $p$ であるため、パート2-1により $\left( x^{p^{n}} - x \right)$ は正確に $p^{n}$ 個の異なるゼロを持つ。

したがって、$K$ は $p^{n}$ 次のガロア体である。

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パート3. ガロア体の一意性

パート1では、$F$ の標数は素数 $p$ であり、パート2-1では、$F$ の代数的閉包 $\overline{F}$ での演算が、$F$ の単位元 $1_{F}$ を $1_{\mathbb{Z}_{p}}$ と見た場合、実際には $\mathbb{Z}_{p}$ の代数的閉包 $\overline{\mathbb{Z}}_{p}$ での演算と変わらないことを指摘しておく。

パート3-1. 基数が $p^{n}$ の体 $E \subset \overline{\mathbb{Z}}_{p}$ の正体 ³

ラグランジュの定理: $H$ が有限群 $G$ の部分群であれば、$|H|$ は $|G|$ の約数である。

基数が $p^{n}$ の体 $\left( E , + , \times \right)$ において、乗算 $\times$ に対する群 $\left( E^{\ast} , \times \right)$ を考えると、$E^{\ast}$ は $E$ で $+$ に対する単位元 $0 \in E$ を除く $p^{n} - 1$ 個の元と単位元 $1 \in E^{\ast}$ を持つ。$\alpha \in E^{\ast}$ のオーダー^order、つまり $\alpha$ によって生成される巡回群の基数である $\left| \alpha \right| = \left| \left< \alpha \right> \right|$ はラグランジュの定理により $p^{n} - 1$ の約数であり、したがって、 $$ \alpha^{p^{n} - 1} = 1 \implies a^{p^{n}} = \alpha $$ を得る。つまり、$E$ のすべての元は $x^{p^{n}} - x$ のゼロであり、代数学の基本定理により、$\mathbb{Z}_{p}$ の代数的閉包 $\overline{\mathbb{Z}}_{p}$ に含まれる基数が $p^{n}$ の体 $E$ の元は正確に $\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \mathbb{Z}_{p} [x]$ のゼロである。

パート3-2. 最小分解体

パート2-1とパート3-1により、与えられた $p$ と $n$ に対して、すべての元が正確に $\left( x^{p^{n}} - x \right)$ のゼロで構成される体 $E$ が存在し、$F$ の標数が $p$ であることにより、その係数に対する演算も素体 $\mathbb{Z}_{p}$ での演算と同じであったことに注意せよ。パート2-3とパート1により、$E$ は素体 $\mathbb{Z}_{p}$ を素体として持ち、$|E| = p^{n}$ を満たす必要があるガロア体であり、さらにパート2-1により、$E$ は $\left( x^{p^{n}} - x \right)$ の最小分解体であることがわかる。

最小分解体の性質: $f(x) \in F [ x ]$ の最小分解体はすべて同型である。

最小分解体の性質により、与えられた $p$ と $n$ に対して、ガロア体は一意である。

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補助定理: 新入生の夢

単に面白い事実として、パート2-2で登場した等式 $$ \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} $$ を新入生の夢^{freshman’s Dream}と呼ぶ。学校に入ったばかりの新入生の立場からすると、累乗が括弧の中に入れば、複雑な展開なしにも難しい問題を解くことができるからである。ちなみに、数論では、標数に関する言及がなくても、同様の方法で合同式 $\left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} \equiv \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} \pmod{ p }$ を導くことができる。