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ヒルベルト空間は反射的であることの証明 📂ヒルベルト空間

ヒルベルト空間は反射的であることの証明

要旨

ヒルベルト空間 HHリフレクシブである: HH H^{\ast \ast} \approx H


  • XX^{\ast}XX双対空間で、XX^{\ast \ast} はダブル双対を表す。
  • XYX \approx YXXYY等長的であることを意味する。

説明

簡潔だけど、ヒルベルト空間を研究するにあたって双対空間よりも大きなものを考える必要がないというのはとても良いことだ。

証明

  • パート1. (H,)(H^{ \ast } , \| \cdot \| )はヒルベルト空間である

    リースの表現定理HHヒルベルト空間だとする。HH線形汎関数 fHf \in H^{ \ast }xH\mathbf{x} \in Hについて、f(x)=x,yf ( \mathbf{x} ) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \right\ranglef=y\| f \| = \| \mathbf{y} \|を満たすyH\mathbf{y} \in Hが一意に存在する。

    関数,:H×HC\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle^{ \ast } : H^{ \ast } \times H^{ \ast } \to \mathbb{C}f,g:=yg,yf=f(yg)\displaystyle \left\langle f, g \right\rangle^{ \ast } : = \left\langle \mathbf{y}_{g}, \mathbf{y}_{f} \right\rangle = f ( \mathbf{y}_{g} )のように定義する。ここで、yf,ygH\mathbf{y}_{f}, \mathbf{y}_{g} \in Hはリースの表現定理からf=yf\| f \| = \| \mathbf{y}_{f} \|g=yg\| g \| = \| \mathbf{y}_{g} \|を満たす要素である。

    すると、,\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle^{ \ast }は下記の三つの条件を満たし、HH^{ \ast }内積となる。

    (i): λf1+f2,g=(λf1+f2)(yg)=λf1(yg)+f2(yg)=λf1,g+f2,g\left\langle \lambda f_{1} + f_{2} , g \right\rangle^{ \ast } = ( \lambda f_{1} + f_{2} ) ( \mathbf{y}_{g} )= \lambda f_{1}( \mathbf{y}_{g} ) + f_{2} ( \mathbf{y}_{g} ) = \lambda \left\langle f_{1}, g \right\rangle^{ \ast } + \left\langle f_{2}, g \right\rangle^{ \ast }

    (ii): f,g=yg,yf=yf,yg=g,f\left\langle f , g \right\rangle^{ \ast } = \left\langle \mathbf{y}_{g} , \mathbf{y}_{f} \right\rangle = \overline{ \left\langle \mathbf{y}_{f} , \mathbf{y}_{g} \right\rangle } = \overline{ \left\langle g , f \right\rangle^{ \ast } }

    (iii): f,f=yf,yf=yf20\left\langle f , f \right\rangle^{ \ast } = \left\langle \mathbf{y}_{f}, \mathbf{y}_{f} \right\rangle = \| \mathbf{y}_{f} \|^{2} \ge 0 そして f,f=yf2=0    yf=0    f=0\left\langle f , f \right\rangle^{ \ast } = \| \mathbf{y}_{f} \|^{2} = 0 \iff \mathbf{y}_{f} = 0 \iff f = 0

    線形作用素の性質YYがバナッハ空間ならば、(B(X,Y),)(B(X,Y), \left\| \cdot \right\| )もバナッハ空間である。

    ここで、Y=CY=\mathbb{C}がバナッハ空間なので、(B(X,Y),)=(H,)(B(X,Y), \left\| \cdot \right\|) = (H^{\ast}, \left\| \cdot \right\|)もバナッハ空間である。HH^{\ast}が内積が定義された完備空間なので、ヒルベルト空間となる。

  • パート2.

    関数Φ\Phiを定義する。関数fHf \in H^{ \ast }xH\mathbf{x} \in H代入する関数ϕxH\phi_{\mathbf{x}} \in H^{\ast \ast}を用いて、Φ:HH\Phi : H \to H^{\ast \ast}Φ(x):=ϕx(f)=f(x)\Phi (\mathbf{x}) := \phi_{\mathbf{x}} (f) = f(\mathbf{x})になるように定義しよう。

  • パート3. Φ\Phiは線形である

    fHf \in H^{ \ast }なので、Φ(λx+y)=f(λx+y)=λf(x)+f(y)=λΦ(x)+Φ(y)\Phi ( \lambda \mathbf{x} + y) = f ( \lambda \mathbf{x} + y) = \lambda f ( \mathbf{x} ) + f ( y) = \lambda \Phi ( \mathbf{x} ) + \Phi ( y)

  • パート4. Φ\Phiは単射である

    xkerΦ\mathbf{x} \in \ker \Phiとすると、0=Φ(x)=f(x)\mathbb{0} = \Phi (\mathbf{x}) = f(\mathbf{x})であるため、xkerf\mathbf{x} \in \ker fリースの表現定理から得られたffに代入関数を適用すると、ϕx(f)=f(x)=x,yf=0\phi_x (f) = f(\mathbf{x}) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{y}_{f} \right\rangle = \mathbb{0} これは、yf\mathbf{y}_{f}にかかわらず成り立たなければならないので、x=0\mathbf{x} = \mathbb{0}でなければならない。

    核の性質kerΦ={0}    Φ\ker \Phi = \left\{ \mathbb{0} \right\} \iff \Phiは単射である。

    kerΦ={0}\ker \Phi = \left\{ \mathbb{0} \right\}なので、核の性質によりΦ\Phiは単射である。

  • パート5. Φ\Phiは全射である。

    既に**パート1.**でHH^{ \ast }がヒルベルト空間であることを示したので、リースの表現定理を使うことができる。

    • パート5-1.

      FH(F:HC)F \in H^{\ast \ast} ( F : H^{\ast \ast} \to \mathbb{C})について、F()=,gFF( \cdot ) = \left\langle \cdot , g_{F} \right\rangle^{ \ast }F=gF\| F \| = \| g_{F} \|を満たすgFHg_{F} \in H^{ \ast }が一意に存在する。

    • パート5-2.

      gFH(gF:HC)g_{F} \in H^{ \ast } ( g_{F} : H^{ \ast } \to \mathbb{C})について、gF()=,xgFg_{F} ( \cdot ) = \left\langle \cdot , \mathbf{x}_{g_{F}} \right\ranglegF=xgF \| g_{F} \| = \| \mathbf{x}_{g_{F}} \| を満たすxgFH\mathbf{x}_{g_{F}} \in Hが一意に存在する。

      F(f)=f,gFby Part 5-1.=f,gFby definition of ,=xgF,yfby definition of ,=f(xgF)by Riesz Representation Theorem=Φ(xgF)by definition of Φ \begin{align*} F(f) =& \left\langle f , g_{F} \right\rangle^{ \ast } & \text{by Part 5-1.} \\ =& \left\langle f , g_{F} \right\rangle^{ \ast } &\text{by definition of } \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle^{ \ast } \\ =& \left\langle \mathbf{x}_{g_{F}} , \mathbf{y}_{f} \right\rangle^{ \ast } &\text{by definition of }\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle \\ =& f \left( \mathbf{x}_{g_{F}} \right) & \text{by Riesz Representation Theorem} \\ =& \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) &\text{by definition of } \Phi \end{align*}

    従って、全てのF(f)HF(f) \in H^{\ast \ast}について、Φ(xgF)=F(f)\Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) = F(f)を満たすxgFH\mathbf{x}_{g_{F}} \in Hが存在するので、Φ\Phiは全射である。

  • パート6. Φ\Phiはノルムを保存する。

    Φ\Phiの定義から、Φ(xgF)=ϕxgF(f)\Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) = \phi_{ \mathbf{x}_{g_{F}} } (f)であるため、

    Φ(xgF)=ϕxgF(f)=F(f) \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) = \phi_{ \mathbf{x}_{g_{F}} } (f) = F(f)

    言い換えると、

    Φ(xgF)=ϕxgF=F \left\| \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) \right\| = \left\| \phi_{ \mathbf{x}_{g_{F}} } \right\| = \left\| F \right\|

    しかし、**パート5-1.**ではF=gF\| F \| = \| g_{F} \|、**パート5-2.**ではgF=xgF\| g_{F} \| = \| \mathbf{x}_{g_{F}} \|であったので、

    Φ(xgF)=xgF \left\| \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) \right\| = \| \mathbf{x}_{g_{F}} \|

**パート2.からパート6.**までをまとめると、Φ\Phi等距離的であることがわかる。