ヒルベルト空間は反射的であることの証明
要旨
ヒルベルト空間 $H$ は リフレクシブである： $$ H^{\ast \ast} \approx H $$
説明
簡潔だけど、ヒルベルト空間を研究するにあたって双対空間よりも大きなものを考える必要がないというのはとても良いことだ。
証明
パート1. $(H^{ \ast } , \| \cdot \| )$はヒルベルト空間である
リースの表現定理：$H$がヒルベルト空間だとする。$H$の線形汎関数 $f \in H^{ \ast }$ と$\mathbf{x} \in H$について、$f ( \mathbf{x} ) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \right\rangle$と$\| f \| = \| \mathbf{y} \|$を満たす$\mathbf{y} \in H$が一意に存在する。
関数$\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle^{ \ast } : H^{ \ast } \times H^{ \ast } \to \mathbb{C}$を$\displaystyle \left\langle f, g \right\rangle^{ \ast } : = \left\langle \mathbf{y}_{g}, \mathbf{y}_{f} \right\rangle = f ( \mathbf{y}_{g} )$のように定義する。ここで、$\mathbf{y}_{f}, \mathbf{y}_{g} \in H$はリースの表現定理から$\| f \| = \| \mathbf{y}_{f} \|$と$\| g \| = \| \mathbf{y}_{g} \|$を満たす要素である。
すると、$\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle^{ \ast }$は下記の三つの条件を満たし、$H^{ \ast }$の内積となる。
(i): $\left\langle \lambda f_{1} + f_{2} , g \right\rangle^{ \ast } = ( \lambda f_{1} + f_{2} ) ( \mathbf{y}_{g} )= \lambda f_{1}( \mathbf{y}_{g} ) + f_{2} ( \mathbf{y}_{g} ) = \lambda \left\langle f_{1}, g \right\rangle^{ \ast } + \left\langle f_{2}, g \right\rangle^{ \ast }$
(ii): $\left\langle f , g \right\rangle^{ \ast } = \left\langle \mathbf{y}_{g} , \mathbf{y}_{f} \right\rangle = \overline{ \left\langle \mathbf{y}_{f} , \mathbf{y}_{g} \right\rangle } = \overline{ \left\langle g , f \right\rangle^{ \ast } }$
(iii): $\left\langle f , f \right\rangle^{ \ast } = \left\langle \mathbf{y}_{f}, \mathbf{y}_{f} \right\rangle = \| \mathbf{y}_{f} \|^{2} \ge 0$ そして $\left\langle f , f \right\rangle^{ \ast } = \| \mathbf{y}_{f} \|^{2} = 0 \iff \mathbf{y}_{f} = 0 \iff f = 0$
線形作用素の性質：$Y$がバナッハ空間ならば、$(B(X,Y), \left\| \cdot \right\| )$もバナッハ空間である。
ここで、$Y=\mathbb{C}$がバナッハ空間なので、$(B(X,Y), \left\| \cdot \right\|) = (H^{\ast}, \left\| \cdot \right\|)$もバナッハ空間である。$H^{\ast}$が内積が定義された完備空間なので、ヒルベルト空間となる。
パート2.
関数$\Phi$を定義する。関数$f \in H^{ \ast }$に$\mathbf{x} \in H$を代入する関数$\phi_{\mathbf{x}} \in H^{\ast \ast}$を用いて、$\Phi : H \to H^{\ast \ast}$が$\Phi (\mathbf{x}) := \phi_{\mathbf{x}} (f) = f(\mathbf{x})$になるように定義しよう。
パート3. $\Phi$は線形である
$f \in H^{ \ast }$なので、$\Phi ( \lambda \mathbf{x} + y) = f ( \lambda \mathbf{x} + y) = \lambda f ( \mathbf{x} ) + f ( y) = \lambda \Phi ( \mathbf{x} ) + \Phi ( y)$
パート4. $\Phi$は単射である
$\mathbf{x} \in \ker \Phi$とすると、$\mathbb{0} = \Phi (\mathbf{x}) = f(\mathbf{x})$であるため、$\mathbf{x} \in \ker f$リースの表現定理から得られた$f$に代入関数を適用すると、$\phi_x (f) = f(\mathbf{x}) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{y}_{f} \right\rangle = \mathbb{0}$ これは、$\mathbf{y}_{f}$にかかわらず成り立たなければならないので、$\mathbf{x} = \mathbb{0}$でなければならない。
核の性質：$\ker \Phi = \left\{ \mathbb{0} \right\} \iff \Phi$は単射である。
$\ker \Phi = \left\{ \mathbb{0} \right\}$なので、核の性質により$\Phi$は単射である。
パート5. $\Phi$は全射である。
既に**パート1.**で$H^{ \ast }$がヒルベルト空間であることを示したので、リースの表現定理を使うことができる。
パート5-1.
$F \in H^{\ast \ast} ( F : H^{\ast \ast} \to \mathbb{C})$について、$F( \cdot ) = \left\langle \cdot , g_{F} \right\rangle^{ \ast }$と$\| F \| = \| g_{F} \|$を満たす$g_{F} \in H^{ \ast }$が一意に存在する。
パート5-2.
$g_{F} \in H^{ \ast } ( g_{F} : H^{ \ast } \to \mathbb{C})$について、$g_{F} ( \cdot ) = \left\langle \cdot , \mathbf{x}_{g_{F}} \right\rangle$と$ \| g_{F} \| = \| \mathbf{x}_{g_{F}} \| $を満たす$\mathbf{x}_{g_{F}} \in H$が一意に存在する。
$$ \begin{align*} F(f) =& \left\langle f , g_{F} \right\rangle^{ \ast } & \text{by Part 5-1.} \\ =& \left\langle f , g_{F} \right\rangle^{ \ast } &\text{by definition of } \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle^{ \ast } \\ =& \left\langle \mathbf{x}_{g_{F}} , \mathbf{y}_{f} \right\rangle^{ \ast } &\text{by definition of }\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle \\ =& f \left( \mathbf{x}_{g_{F}} \right) & \text{by Riesz Representation Theorem} \\ =& \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) &\text{by definition of } \Phi \end{align*} $$
従って、全ての$F(f) \in H^{\ast \ast}$について、$\Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) = F(f)$を満たす$\mathbf{x}_{g_{F}} \in H$が存在するので、$\Phi$は全射である。
パート6. $\Phi$はノルムを保存する。
$\Phi$の定義から、$\Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) = \phi_{ \mathbf{x}_{g_{F}} } (f)$であるため、
$$ \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) = \phi_{ \mathbf{x}_{g_{F}} } (f) = F(f) $$
言い換えると、
$$ \left\| \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) \right\| = \left\| \phi_{ \mathbf{x}_{g_{F}} } \right\| = \left\| F \right\| $$
しかし、**パート5-1.**では$\| F \| = \| g_{F} \|$、**パート5-2.**では$\| g_{F} \| = \| \mathbf{x}_{g_{F}} \|$であったので、
$$ \left\| \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) \right\| = \| \mathbf{x}_{g_{F}} \| $$
**パート2.からパート6.**までをまとめると、$\Phi$が等距離的であることがわかる。
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