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三重対角行列の行列式導出 📂行列代数

三重対角行列の行列式導出

公式

Xn:=[x10⋯001x1⋯0001x⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯x1000⋯1x] X_{n} := \begin{bmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{bmatrix} 上で定義された三重対角行列 XnX_{n} の行列式は次のようになる。 det⁡Xn=∣Xn∣=Un(x2) \det X_{n} = \left| X_{n} \right| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right)

UnU_{n} はnn 次の第2種チェビシェフ多項式を意味する。

証明

もちろん XnX_{n} は一般的な三重対角行列ではなく、三重対角トゥープリッツToeplitz 行列の中でも特殊な形であり、その中で特に偏微分方程式の数値解析的解法に有用に使われる形で、普通はその固有値に関心が多い。

Part 1. ∣Xn+1∣=x∣Xn∣−∣Xn−1∣| X_{n+1} | = x | X_{n} | - | X_{n-1} |

ラプラス展開: 選ばれた ii 行について det⁡A=∑i=1naijCij \det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij}

n×nn \times n 行列 Yn:=[110⋯000x1⋯0001x⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯x1000⋯1x]Y_{n} : = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{bmatrix} 을 정의하자. YnY_{n} 의 첫번째 열은 (1,0,⋯ ,0)(1, 0 , \cdots , 0) 으로써, 첫번째 성분을 제외하면 영벡터가 되므로 첫번째 열을 포함한 여인자는 00 になる。従って

∣Yn∣=1⋅∣Xn−1∣−1⋅0+0⋅0−⋯±0⋅0=∣Xn−1∣ | Y_{n} | = 1 \cdot | X_{n-1} | - 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - \cdots \pm 0 \cdot 0 = | X_{n-1} |

同様にラプラス展開によって

∣Xn+1∣=x⋅∣Xn∣−1⋅∣Yn∣+0⋅0−⋯±0⋯0=x∣Xn∣−∣Xn−1∣ | X_{n+1} | = x \cdot | X_{n} | - 1 \cdot | Y_{n} | + 0 \cdot 0 - \cdots \pm 0 \cdots 0 = x | X_{n} | - | X_{n-1} |

Part 2. ∣xn∣=Un(x2)\displaystyle | x_{n}| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right)

命題 P(n):∣xn∣=Un(x2)\displaystyle P(n) : | x_{n}| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right) を定義して数学的帰納法を使用しよう。

n=1n=1 のとき、 ∣X1∣=xU1(x2)=2x2=x | X_{1} | = x \\ U_{1} \left( {{x} \over {2}} \right) = 2 {{x} \over {2}} = x

n=2n=2 のとき、 ∣X2∣=x2−1U2(x2)=4(x2)2−1=x2−1 | X_{2} | = x^2 - 1 \\ U_{2} \left( {{x} \over {2}} \right) = 4 \left( {{x} \over {2}} \right)^2 - 1 = x^2 - 1

命題 P(n)P(n) が n=k−1n=k-1、 n=kn=k のとき成立すると仮定しよう。

第2種チェビシェフ多項式の漸化式:

Un+1(x)=2xUn(x)−Un−1(x) U_{n+1} (x) = 2x U_{n} (x) - U_{n-1} (x)

Part 1で

∣Xk+1∣=x∣Xk∣−∣Xk−1∣ | X_{k+1} | = x | X_{k} | - | X_{k-1} |

であり、

Uk+1(x2)=xUk(x2)−Uk−1(x2) U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = x U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right) - U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right)

従って

∣Xk+1∣−Uk+1(x2)=x[∣Xk∣−Uk(x2)]−[∣Xk−1∣−Uk−1(x2)] | X_{k+1} | - U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = x \left[ | X_{k} | - U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right) \right] - \left[ | X_{k-1} | - U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right) \right]

仮定で ∣Xk∣=Uk(x2)\displaystyle | X_{k} | = U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right) であり ∣Xk−1∣=Uk−1(x2)\displaystyle | X_{k-1} | = U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right) なので

∣Xk+1∣−Uk+1(x2)=0 | X_{k+1} | - U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = 0

数学的帰納法により P(n)P(n) は n∈Nn \in \mathbb{N} に対して真である。

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